Съдържание

ВсОШ 2019, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 10.2. Теплоёмкость резистора

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2019

LIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Экспериментальный тур. 23 января 2019 г. · 23 януари 2019 г. · 15 т.

Условие

С помощью выданного оборудования определите:

1) зависимость мощности тепловых потерь от температуры резистора (постройте график).

2) теплоёмкость резистора.

Оборудование: резистор сопротивлением $R = 100$ Ом, стакан, регулируемый источник постоянного напряжения (далее Источник), два мультиметра, термопара, секундомер, соединительные провода, зажим типа «крокодил», миллиметровая бумага (для построения графиков).
Примечание. Один из мультиметров используется в качестве вольтметра, второй (с термопарой) – для измерения температуры.

Подготовка электрической части установки

Изучите механизм регулировки выходного напряжения Источника.
В этом эксперименте запрещается устанавливать напряжение более 6 В! Если резистор «сгорит», вы получите 0 баллов за экспериментальный тур.

Подготовка тепловой части установки

Закрепите резистор при помощи присоединённых к нему проводов так, чтобы он располагался по центру стакана, как показано на фото слева.
Присоедините резистор при помощи длинных проводов к клеммам Источника (параллельно вольтметру).
Подключите термопару ко второму мультиметру. Установите ручку мультиметра на указатель «TEMP» (режим измерения температуры по шкале Цельсия). Мультиметр должен показать комнатную температуру. Бережно обращайтесь с термопарой – она достаточно хрупкая.
При помощи зажима типа «крокодил» закрепите термопару так, чтобы её спай плотно касался поверхности резистора (как на фото справа). В ходе эксперимента резистор и спай нельзя перемещать!

Фотография слева: резистор на проводах закреплён по центру металлического стакана; к проводам подсоединён жёлтый зажим «крокодил».

Фотография справа: резистор на зелёных проводах, к поверхности которого сверху прижат спай термопары.

Отговори

Решение

Возможное решение. (ВАЖНО: все числовые данные приведены для имеющегося в распоряжении авторов оборудования. Референтное значение необходимо определять «на месте», для каждой отдельной партии резисторов.)
Мощность, выделяющаяся на резисторе при протекании через него электрического тока, рассчитывается по формуле $P_{\text{Э}} = U^2/R$ , где $P_{\text{Э}}$ – мощность, $U$ – напряжение на резисторе и $R$ – его сопротивление. Считаем, что сопротивление резистора в исследуемом диапазоне температур не изменяется и равно 100 Ом.
В состоянии динамического равновесия (когда температура не изменяется) мощность электрического тока равна мощности тепловых потерь. Мощность тепловых потерь пропорциональна разности температур резистора и окружающего воздуха: $P_{\text{П}} = a(T - T_0)$ .
Для качественного исследования линейной зависимости необходимо измерить не менее 7-ми точек.

$U$ , В	0	1,53	2,01	2,51	3,17	3,60	4,14	4,60	5,15	5,61	6,00
$P_{\text{Э}}$ , мВт	0	21,9	37,8	58,9	93,9	121	160	198	248	294	350
$T$ , ˚С	20	22	24	27	31	35	38	42	47	52	58

График зависимости $P_{\text{Э}}(T) = P_{\text{П}}(T)$ приведён ниже:

Точечный график $P_{\text{Э}}(T)$: по вертикали мощность от 0 до 400 (мВт), по горизонтали температура от 20 до 60 (°С); одиннадцать точек-ромбов, растущих почти линейно от (20; 0) до (58; 350).

Мы видим, что зависимость хорошо аппроксимируется линейной функцией.

P = a(T - T_0)

Коэффициент теплопроводности $a$ можно найти из углового коэффициента наклона графика $P(T)$ . В данном случае $a$ = 9,3 мВт/°С.
Отключим Источник, и исследуем процесс охлаждения резистора за счёт тепловых потерь.

$\tau$ , с	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90
$T$ , °С	58	50	39	32	28	25	24	23	22	21

График зависимости $T(\tau)$ приведён ниже:

График $T(\tau)$: по вертикали температура от 0 до 70 (°С), по горизонтали время от 0 до 100 (с); десять точек-ромбов от 58 °С при τ = 0 до 21 °С при τ = 90 с и гладкая убывающая кривая через них.

Мы видим, что данный процесс нелинейный. Его исследование можно провести несколькими способами.

1 ВАРИАНТ
Скорость падения температуры зависит от теплоёмкости резистора и мощности теплопередачи:

\frac{\Delta T}{\Delta \tau} = \frac{Q}{C\Delta \tau} = \frac{P_{П}}{C}.

Так ка мы знаем все параметры для расчёта мощности тепловых потерь $P_{П} = a(T - T_0)$ , мы можем рассчитать теплоёмкость через мгновенную скорость падения температуры в какой либо момент времени

\frac{\Delta T}{\Delta \tau} = \frac{P_{П}}{C} = \frac{a(T - T_0)}{C} \Rightarrow C = \frac{a(T - T_0)}{\dfrac{\Delta T}{\Delta \tau}}.

Скорость падения температуры можно найти через наклон касательной к графику $T(\tau)$ . Данные вычисления необходимо провести для нескольких моментов времени (не менее 5) и усреднить значение $C$ , для уменьшения погрешности.
В данном случае $C \approx$ 0,2 Дж/°С.

2 ВАРИАНТ
Построим по двум таблицам график зависимости мощности тепловых потерь от времени при остывании резистора.

Точечный график мощности тепловых потерь от времени при остывании: по вертикали от 0 до 40, по горизонтали от 0 до 100; точки убывают от примерно 35 при t = 0 до примерно 1,5 при t = 90.

Площадь под этим графиком имеет смысл выделившегося количества тепла $Q$ .
В частности, выделенная на графике площадь соответствует остыванию от 50℃ до 25℃.
Уравнение теплового баланса даёт:

Q = C\Delta T \to C = \frac{Q}{\Delta T}.

Площадь под графиком (количество теплоты) можно примерно найти как площадь трапеций. $Q \approx$ 525 мДж, а $C \approx$ 0,21 Дж/°С, что близко к предыдущему результату.

3 ВАРИАНТ
Некоторые дети могут использовать логарифмы: Предполагая, что закон изменения температуры со временем экспоненциальный, можно построить график зависимости $ln(T/T_0)$ от времени. Данный график должен быть близок к линейному, а коэффициентом наклона будет отношение $a/C$ . Если данным способом получен правильный ответ, его нужно оценивать полным баллом.

Критерии оценивания (15 баллов)

№	Критерий	Баллы
1)	Получена теоретическая зависимость установившейся температуры $T$ поверхности резистора от мощности тока $P$	1 балл
2)	Измерена зависимость установившейся температуры $T$ поверхности резистора от мощности тока $P$ ; Не менее 7-ми точек 2 балла; Не менее 5-ти точек 1 балл; Менее 5-ти точек 0 баллов	2 балла
3)	Построен график зависимости $P(T)$ Из них: Подписаны оси, указаны единицы измерения 0,5 балла; Равномерная оцифровка шкал, график занимает не менее 70% рисунка 0,5 балла; Правильно перенесены все точки из таблицы 1 балл	2 балла
4)	Определён коэффициент теплопередачи $a$ ; не менее чем по 5-ти точкам 1 балл; менее чем по 5-ти точкам 0 баллов	1 балл
5)	Снята зависимость температуры $T$ резистора от времени τ при его остывании; Не менее 7-ми точек 2 балла; Не менее 5-ти точек 1 балл; Менее 5-ти точек 0 баллов	2 балла
6)	Получена расчётная формула для теплоёмкости резистора $C$ (для любого варианта)	2 балла
7)	Рассчитана теплоёмкость резистора $C$ Из них: Хорошее усреднение: 3 балла (Вариант 1: не менее 5-ти точек; Вариант 2: не менее 3-х интервалов для площади; Вариант 3: не менее 5-ти точек на логарифмическом графике); Плохое усреднение: 1 балл (Вариант 1: не менее 3-х точек; Вариант 2: не менее 2-х интервалов для площади; Вариант 3: не менее 3-х точек на логарифмическом графике); Нет усреднения: 0 баллов	3 балла
8)	Попадание в $C$ референтное значение; Попадание в интервал: референтное значение ± 10% 2 балла; Попадание в интервал: референтное значение ± 25% 1 балл; Не опадание в интервал: референтное значение ± 25% 0 баллов	2 балла

Оригинал в Архива: region19E.pdf