Съдържание

ВсОШ 2019, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 10. «Наморозили»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2019

LIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 21 января 2019 г. · 21 януари 2019 г.

Условие

На весах установлен калориметр с водой при температуре $t_0 = 0^{\circ}$ С. Весы показывают при этом $m_1 = 100$ г. В воду опускают стальной шарик, закрепленный на нити с намерзшим на нем толстым слоем льда, который полностью погружен в воду. Показания весов увеличивается до значения $m_2 = 201{,}3$ г. После установления теплового равновесия в калориметре (на этом этапе теплообменом с окружающей средой можно пренебречь), показания весов ещё немного возрастают до $m_3$ = 204, 45 г. Через большой промежуток времени, когда содержимое калориметра нагрелось до комнатной температуры, весы показали $m_4 = 191{,}3$ г. Определите массу $m_{\text{с}}$ стального шарика, массу $m_{\text{л}}$ льда на нём перед опусканием в калориметр, их температуру $t$ перед погружением в воду. Удельная теплоемкость стали $c_{\text{с}} = 450$ Дж/кг·˚С, удельная теплоемкость льда $c_{\text{л}} = 2100$ Дж/кг·˚С удельная теплота плавления льда $\lambda = 3{,}4\cdot10^5$ Дж/кг, плотность стали $\rho_{\text{с}} = 7800$ кг/м $^3$ , льда $\rho_{\text{л}} = 900$ кг/м $^3$ , воды $\rho_{\text{в}} = 1000$ кг/м $^3$ .

Калориметр с водой стоит на весах со стрелочной шкалой (г, отметки 100 и 200); в воду на нити, закреплённой к потолку, опущен стальной шарик, окружённый толстым слоем льда.

Отговори

Решение

Возможное решение.

Показания весов при погружении тела на нити увеличиваются за счёт силы Архимеда действующей на это тело. Поэтому сразу после опускания шарика со льдом в воду:

m_2 = m_1 + \left(\frac{m_{\text{с}}}{\rho_{\text{с}}} + \frac{m_{\text{л}}}{\rho_{\text{л}}}\right)\rho_{\text{в}} \qquad (1)

После установления теплового равновесия показания весов увеличились из-за дополнительно намёрзшего льда массой $\Delta m_{\text{л}}$ . При этом в сосуде устанавливается температура 0°C и можно записать уравнение теплового баланса:

\Delta m_{\text{л}}\lambda + (c_{\text{с}}m_{\text{с}} + c_{\text{л}}m_{\text{л}})t = 0 \qquad (2)

Показания весов при этом увеличатся:

m_3 - m_2 = \frac{\Delta m_{\text{л}}}{\rho_{\text{л}}}\rho_{\text{в}} - \Delta m_{\text{л}} = \frac{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{л}}}\Delta m_{\text{л}} \qquad (3)

После того как весь лёд растает показания весов $P_4$ по сравнению с $P_2$ уменьшатся из-за уменьшения силы Архимеда, но увеличатся за счёл увеличения количества воды на $m_{\text{л}}$ :

m_2 - m_4 = \frac{m_{\text{л}}}{\rho_{\text{л}}}\rho_{\text{в}} - m_{\text{л}} = \frac{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{л}}}m_{\text{л}} \qquad (4)

Из этого уравнения получаем начальную массу льда:

m_{\text{л}} = \frac{m_2 - m_4}{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{л}}}\rho_{\text{л}} = 90\ \text{г}

Теперь из уравнения (1) можно найти массу стального шарика:

m_{\text{с}} = \frac{\rho_{\text{с}}}{\rho_{\text{в}}}\left(m_2 - m_1 - \frac{m_{\text{л}}}{\rho_{\text{л}}}\rho_{\text{в}}\right) \approx 10{,}1\ \text{г}

Из (3) находим массу дополнительно намёрзшего льда:

\Delta m_{\text{л}} = (m_3 - m_2)\frac{\rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{л}}} \approx 28{,}4\ \text{г}

Наконец, из (2) определим начальную температуру льда и шарика:

t = -\frac{\Delta m_{\text{л}}\lambda}{c_{\text{с}}m_{\text{с}} + c_{\text{л}}m_{\text{л}}} \approx -49{,}9^{\circ}\mathrm{C}

Примечание: при подстановке численных ответов в условие плавания получается, что лёд с шариком всплывает, но! На малую часть объема, что практически не влияет на численный ответ.

Критерии оценивания

1	Записано выражение для показаний весов при погружении тела на нити (1)	2 балла
2	Записано уравнение теплового баланса (2)	1 балл
3	Записано выражение для показаний весов после намерзания льда (3)	2 балла
4	Записано выражение для показаний весов после таяния льда (4)	2 балла
5	Найдена масса льда	1 балл
6	Найдена масса шарика	1 балл
7	Найдена начальная температура льда с шариком	1 балл

Онлайн-разбор решений

22 января на портале http://abitu.net/vseros будет проведён онлайн-разбор решений задач теоретического тура. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 11.00; 8 класс – 12.00; 9 класс – 13.00; 10 класс – 14.30; 11 класс – 16.00. Чтобы при разборе задач вы могли задать вопросы, необходима регистрация на портале.

Оригинал в Архива: region19T.pdf