Съдържание

ВсОШ 2019, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 13. Тетрагон

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2019

LIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 21 января 2019 г. · 21 януари 2019 г.

Условие

Основание стеклянной призмы имеет форму четырёхугольника $OAO_1D$ (см. рисунок). Угол $AOD$ – прямой. Призма симметрична относительно плоскости, содержащей $OO_1$ и перпендикулярной основанию. Луч $L_1$ нормально падает на грань $OA$ и после отражений на гранях $DO_1$ и $AO_1$ выходит через грань $OD$ так же под прямым углом к ней. Луч $L_2$ падает на грань $OA$ под углом $\alpha$ . Под каким углом $\beta$ относительно нормали к грани $OD$ он выйдет из призмы после отражений на гранях $DO_1$ и $AO_1$ ? Все лучи и перпендикуляры к граням призмы лежат в плоскости $OAO_1D$ .

Основание призмы — четырёхугольник OAO1D (закрашен голубым) с пунктирной осью симметрии OO1 и прямым углом при вершине O; луч L1 падает нормально на грань OA и выходит нормально из грани OD; луч L2 падает на OA под углом α и выходит из OD под искомым углом β (β - ?).

Отговори

Решение

Возможное решение.

Построим ход $L_1$ . Нормально падающие лучи не преломляются на границе раздела сред. Значит, ход лучей симметричен относительно $OO_1$ , и луч дважды пересекает эту линию в точке $E$ . Треугольник $BEC$ прямоугольный и равнобедренный, значит углы $EBC$ и $ECB$ по 45°, значит углы падения и отражения лучей на гранях будут по $\gamma_{\text{п}} = 22{,}5^{\circ}$ . Тогда, из четырёхугольника $EBO_1C$ угол $\gamma = 45^{\circ}$ .

Ход луча L1 в призме OAO1D: луч входит нормально через OA, отражается в точках C (на DO1) и B (на AO1), пересекает ось в точке E и выходит нормально через OD; отмечены углы 2γп и 90°-γп при точке C, угол γ при вершине O1; у вершины O закрашен серый четырёхугольник.

Построим ход отклонённого луча. Отметим, что сумма углов $AB_1C_1$ и $DC_1B_1$ равна сумме углов $ABC$ и $DCB$ (сумма углов в четырехугольниках одинакова). Следовательно, сумма углов $E_1B_1O_1$ и $E_1C_1O_1$ равна сумме углов $EBO_1$ и $ECO_1$ . Значит, лучи по-прежнему пересекаются в призме под прямыми углами.

Ход отклонённого луча L2 в призме OAO1D: луч входит через OA, отражается в точках C1 (на DO1) и B1 (на AO1), проходит через точку E1 и выходит через OD; серый четырёхугольник у вершины O, пунктиром показаны нормали.

С учётом вышесказанного, принимая во внимание равенство суммы углов в «серых» четырёхугольниках, можно заключить, что угол, под которым преломился $L_2$ на грани $OA$ равен углу, под которым он упал на грань $OD$ . Значит, по закону Снеллиуса, угол под которым луч выйдет из грани $OD$ равен углу, под которым он упал на грань $OA$ .

Заметим, что от показателя преломления стекла ответ не зависит.

Критерии оценивания

1	Правильно описано преломление нормально падающих лучей	1 балл
2	Указана симметричность поведения $L_1$ в призме	1 балл
3	Применён закон отражения света	1 балл
4	Правильно найдены неизвестные углы в призме (или хотя бы один из них)	2 балла
5	Доказано, что луч, падающий на грань $DO_1$ и во втором случае перпендикулярен лучу, падающему на грань $OD$ .	2 балла
6	Получено, что угол преломления $L_2$ на грани $OA$ равен его углу падения на грань $OD$	2 балла
7	Сделан вывод о том, что угол, под которым луч выйдет из грани $OD$ равен углу, под которым он упал на грань $OA$ ( $\beta = \alpha$ )	1 балл

Примечание к критериям

Если задача решалась альтернативным способом, например, через пошаговое построение хода лучей, то следует придерживаться следующих правил:

Полностью правильное решение с выводом равенства углов $\beta = \alpha$ – 10 баллов.
Рассмотрение хода луча $L_1$ с правильным нахождением угла $\gamma$ – 5 баллов.

Онлайн-разбор решений

22 января на портале http://abitu.net/vseros будет проведён онлайн-разбор решений задач теоретического тура. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 11.00; 8 класс – 12.00; 9 класс – 13.00; 10 класс – 14.30; 11 класс – 16.00. Чтобы при разборе задач вы могли задать вопросы, необходима регистрация на портале.

Оригинал в Архива: region19T.pdf