ВсОШ 2019, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 14. Воднолыжник

• $u_0 = \sqrt{u^2 + (v \pm u\,\mathrm{tg}\alpha_0)^2}$ (знак «−», когда спортсмен между правым берегом и катером, «+» — между катером и левым берегом); $T = \frac{mu^2}{L\cos^2\alpha_0}$.

Возможное решение: Разложим скорость спортсмена относительно берега на две составляющие: перпендикулярную берегу $u$ и продольную $u'$. Так как расстояние от спортсмена до точки катера, к которой прикреплен трос, не меняется, то проекции скоростей воднолыжника и катера на линию, проходящую через трос, должны быть одинаковы.

В первом случае, когда спортсмен находится между правым берегом и катером, получим: $v\cos\alpha_0 = u'\cos\alpha_0 + u\sin\alpha_0$, тогда $u' = v - u\,\mathrm{tg}\alpha_0$.

Во втором случае, когда спортсмен находится между катером и левым берегом, получим: $v\cos\alpha_0 = u'\cos\alpha_0 - u\sin\alpha_0$, тогда $u' = v + u\,\mathrm{tg}\alpha_0$.

Модуль скорости спортсмена относительно берега $u_0 = \sqrt{u^2 + u'^2} = \sqrt{u^2 + (v \pm u\,\mathrm{tg}\alpha_0)^2}$.

Так как относительно катера воднолыжник движется по окружности радиусом $L$, то сила натяжения троса $T = \frac{mu_{\text{отн}}^2}{L}$, где $u_{\text{отн}}^2 = u^2 + (u' - v)^2 = u^2(1 + \mathrm{tg}^2\alpha_0) = \frac{u^2}{\cos^2\alpha_0}$.

Окончательно, $T = \frac{mu^2}{L\cos^2\alpha_0}$.

Критерии оценивания