Съдържание

ВсОШ 2019, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 17. На планете R19

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2019

LIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 21 января 2019 г. · 21 януари 2019 г.

Условие

В далеком космосе астронавты исследовали атмосферу планеты R19. Оказалось, что она очень похожа на атмосферу Земли: состоит из идеального газа с молярной массой $\mu = 28$ г/моль и имеет схожую зависимость температуры от высоты (см. рис.). И даже ускорение свободного падения у поверхности R19 равно $g = 9{,}9$ м/с $^2$ . Однако, атмосферное давление на уровне моря отличается от земного. Оно равно $p_0 = 500$ кПа. Определите по этим данным, пренебрегая изменением $g$ с высотой, давление $p_1$ и плотность $\rho_1$ на высоте $h_1 = 1{,}0$ км. Универсальная газовая постоянная $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К).

График на миллиметровой сетке: температура t, °C (от −60 до 20) в зависимости от высоты h, км (от 0 до 6). Линия линейно убывает от 15 °C при h = 0 примерно до −47 °C при h ≈ 1,9 км, затем плавно выходит на −55 °C при h ≈ 2,4 км, остаётся постоянной до ≈ 3,6 км и затем медленно растёт до −45 °C при h = 6 км.

Отговори

Решение

Возможное решение.

Заметим, что на участке от 0 до 2 км зависимость температуры от высоты линейная убывающая: $T = T_0 - \alpha h$ . Из графика $\alpha = \left|\frac{\Delta T}{\Delta h}\right| = 33{,}3\,\frac{\text{К}}{\text{км}}$ .
Получим зависимость $p(h)$ .

При малом изменении высоты на $\Delta h$ давление изменяется на $\Delta p = -\rho g\Delta h$ , где плотность газа $\rho = \frac{p\mu}{RT}$ . Тогда $\frac{\Delta p}{p} = -\frac{\mu g}{RT}\Delta h = \frac{\mu g}{RT}\frac{\Delta T}{\alpha}$ .

Тогда связь между относительным изменением давления и относительным изменением температуры: $\frac{\Delta p}{p} = k\frac{\Delta T}{T}$ , где $k = \frac{\mu g}{R\alpha} \approx 1$ .

Это означает, что давление также линейно убывает с высотой и $\frac{\Delta p}{\Delta h} = -\rho g = const$ .

Таким образом, плотность атмосферы постоянна от 0 до 2 км:

\rho = \rho_0 = \frac{p_0\mu}{RT_0} = 5{,}85\ \text{кг/м}^3.

Давление на высоте 1 км $p_1 = p_0 - \rho_0 gh = 442$ кПа.

Критерии оценивания

1	Для участка от 0 до 2 км найдено $\left\vert \frac{\Delta T}{\Delta h}\right\vert = 33{,}3\,\frac{\text{К}}{\text{км}}$	1 балл
2	Записано выражение $\Delta p = -\rho g\Delta h$	1 балл
3	Записано выражение для плотности газа $\rho = \frac{p\mu}{RT}$	1 балл
4	Получено выражение для связи между относительными изменениями давления и температуры при малом изменении высоты: $\frac{\Delta p}{p} = k\frac{\Delta T}{T}$ , где $k = \frac{\mu g}{R\alpha}$	2 балла
5	Вычислено $k \approx 1$	1 балл
6	Сделан вывод о том, что давление линейно убывает с высотой	1 балл
7	Сделан вывод о том, что плотность атмосферы постоянна от 0 до 2 км	1 балл
8	Вычислена плотность $\rho = 5{,}85\ \text{кг/м}^3$	1 балл
9	Вычислено давление на высоте 1 км: $p_1 = 442$ кПа	1 балл

Онлайн-разбор решений

22 января на портале http://abitu.net/vseros будет проведён онлайн-разбор решений задач теоретического тура. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 11.00; 8 класс – 12.00; 9 класс – 13.00; 10 класс – 14.30; 11 класс – 16.00. Чтобы при разборе задач вы могли задать вопросы, необходима регистрация на портале.

Оригинал в Архива: region19T.pdf