ВсОШ 2019, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 18. Бусинка на кольце

• 1) $F_{\text{тр}} = \mu m\sqrt{g^2 + \left(\frac{v_0^2}{R}\right)^2}$
• 2) $a = \sqrt{(\mu g)^2 + (1 + \mu^2)\left(\frac{v_0^2}{R}\right)^2}$
• 3) $\Delta S = \frac{v_0^2}{\mu\sqrt{g^2 + \left(\frac{v_0^2}{R}\right)^2}}\cdot 10^{-2}$

Возможное решение.

1. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N} = \vec{N}_1 + \vec{N}_2$, где $\left|\vec{N}_1\right| = mg$ – ее вертикальная составляющая, $\left|\vec{N}_2\right| = \frac{mv_0^2}{R}$ – горизонтальная составляющая в начальный момент времени. Сразу после начала движения модуль силы трения, действующей на бусинку, $F_{\text{тр}} = \mu N$, где $N = \sqrt{N_1^2 + N_2^2}$.

Окончательно, $F_{\text{тр}} = \mu m\sqrt{g^2 + \left(\frac{v_0^2}{R}\right)^2}$.

2. Полное ускорение бусинки $\vec{a} = \vec{a}_n + \vec{a}_\tau$, где $a_n = \frac{v_0^2}{R}$ – нормальная составляющая ускорения в начальный момент времени, $a_\tau = \frac{F_{\text{тр}}}{m} = \mu\sqrt{g^2 + \left(\frac{v_0^2}{R}\right)^2}$ – тангенциальная составляющая. Сразу после начала движения модуль полного ускорения:

$a = \sqrt{a_n^2 + a_\tau^2} = \sqrt{(\mu g)^2 + (1 + \mu^2)\left(\frac{v_0^2}{R}\right)^2}$.

3. Необходимая точность будет обеспечена при использовании приближенных формул: $\Delta S = v_0\Delta t$; $\Delta v = a_\tau\Delta t$, где $\Delta S$ – искомый путь, $\Delta t$ – время после начала движения, за которое скорость бусинки уменьшилась на 1%.

Тогда $\Delta S = \frac{v_0\Delta v}{a_\tau} = \frac{v_0^2\cdot}{a_\tau}10^{-2} = \frac{v_0^2}{\mu\sqrt{g^2 + \left(\frac{v_0^2}{R}\right)^2}}\cdot 10^{-2}$.

Критерии оценивания