ВсОШ 2019, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 19. Испытания автомобиля

• $t_{\text{И}} = \sqrt{\frac{7L}{2\mu g}} \approx 1{,}87\sqrt{\frac{L}{\mu g}}$; $\upsilon_0 = \sqrt{\frac{2}{7}\mu gL}$.

Возможное решение.

1. Если участок длиной $L$ проехать максимально быстро (с максимально возможным ускорением $a = \mu g$), то скорость на линии границы будет $\upsilon_1 = \sqrt{2\mu gL}$, а время разгона $t_1 = \sqrt{\frac{2L}{\mu g}}$. При этом минимально возможное время торможения за линией границы составит $t_M - t_1 = \sqrt{\frac{L}{2\mu g}}$. Общее время испытания $t_M = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{2L}{\mu g}} \approx 2{,}12\sqrt{\frac{L}{\mu g}}$

2. Если пересекать линию границы со скоростью $\upsilon_0 < \upsilon_1$, то увеличится время достижения этой линии, но сократится время торможения за ней. Вопрос о конкуренции между этими изменениями времен требует дополнительного изучения.

3. Пусть на границе скорость $\upsilon_0\left(\upsilon_0 < \upsilon_1\right)$, которая достигается за минимально возможное время $t_0$ при следующем характере движения: разгон с максимальным положительным ускорением $a = \mu g$ до такой скорости $\upsilon_2 > \upsilon_0$, при которой оставшегося пути хватит, чтобы сбросить эту скорость до заданной $\upsilon_0$ при максимально возможном отрицательном ускорении $a_{\text{торм}} = -\mu g$. Данное утверждение иллюстрируется рисунком.

На рисунке участок $I$ соответствует разгону с максимальным ускорением $\mu g$, участок $II$ соответствует заблаговременному торможению (с максимальным ускорением $-\mu g$) от скорости $\upsilon_2$ до скорости $\upsilon_0$ на границе, участок $III$ – торможению за линией границы с ускорением $-2\mu g$ до полной остановки в момент $t_{\text{И}}$. Отметим, что площади серых фигур равны (так как пути в первом движении до $t_1$ и во втором движении до $t_0$ равны $L$).

С помощью рисунка найдем зависимость $t_0$ от $\upsilon_0$.

Первый раз скорость $\upsilon_0$ достигается в момент $t_3 = \frac{\upsilon_0}{\mu g}$, к этому моменту пройден путь $S_1 = \frac{\upsilon_0^2}{2\mu g}$. Половина оставшегося до границы пути пройдена за время $\Delta t_2$, и

Выразим $\Delta t_2 = \sqrt{\frac{\upsilon_0^2}{2(\mu g)^2} + \frac{L}{\mu g}} - \frac{\upsilon_0}{\mu g}$, а полное время движения до границы:

4. Полное время испытания $t_{\text{и}}$ согласно условию задачи, равно $t_0 + t_{\text{т}}$, где $t_T = \frac{\upsilon_0}{2\mu g}$ – время торможения за линией финиша

Необходимо найти минимум данного выражения, варьируя его по $\upsilon_0$.

Для упрощения исследования производной сделаем замены: $x = \frac{\upsilon_0}{2\mu g}$; $b = \frac{L}{\mu g}$;

$t_{\text{И}} = \sqrt{8x^2 + 4b} - x$ где $x$ и $b$ – по физическому смыслу положительны.

Возьмём производную по $x$ и приравняем её нулю:

Возвращаемся к старым переменным: $56\frac{\upsilon_0^2}{4(\mu g)^2} = 4\frac{L}{\mu g}$ или $\upsilon_0 = \sqrt{\frac{2}{7}\mu gL}$.

Тогда $t_{\text{И}} = 2\sqrt{\frac{2L}{14\mu g} + \frac{L}{\mu g}} - \sqrt{\frac{L}{14\mu g}} = \sqrt{\frac{7L}{2\mu g}} \approx 1{,}87\sqrt{\frac{L}{\mu g}}$.

Критерии оценивания