ВсОШ 2019, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 20. Кубическая планета

• $\upsilon_2 = \upsilon_1$

Возможное решение. Исходный куб можно составить из восьми кубиков с ребром вдвое меньшего размера (см. рис.). По аналогии с электростатикой введем гравитационный потенциал $\varphi$, который в вершине любого однородного куба будет прямо пропорционален его массе и обратно пропорционален линейным размерам с одним и тем же коэффициентом пропорциональности. Пусть длина ребра и масса малого кубика равны соответственно $b$ и $m$, а гравитационный потенциал в его центре равен $\varphi_0$. Тогда $\varphi_0 = -k\frac{m}{b} = -k\frac{\rho b^3}{b} = -k\rho b^2$, (1)

где $k$ – некоторый размерный коэффициент, а $\rho$ – плотность планеты. Здесь мы учли, что энергия гравитационного взаимодействия отрицательна, если за нулевой уровень принять энергию на бесконечности.

Потенциал в центре большого куба из принципа суперпозиции $\varphi_1 = 8\varphi_0$, а потенциал в его вершине по аналогии с (1) $\varphi_2 = -k\frac{\rho(2b)^3}{2b} = -4k\rho b^2 = 4\varphi_0$.

Из закона сохранения энергии следует:

Из системы уравнений (2) и (3) следует:

Окончательно получим $v_2 = v_1$.

Критерии оценивания