Съдържание

ВсОШ 2019, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 21. Сосуд с поршнем

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2019

LIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 21 января 2019 г. · 21 януари 2019 г.

Условие

Теплоизолированный цилиндрический сосуд разделён на две части не проводящим тепло поршнем, который может перемещаться без трения. В начальный момент в левой и правой частях сосуда находится по одному молю гелия при одинаковой температуре. В левую часть сосуда подвели тепло с помощью нагревателя. При этом температура гелия в ней увеличилась на малую величину $\Delta T$ . Определите изменение температуры $\Delta T_2$ в правой части сосуда и количество теплоты $Q$ , переданное нагревателем.

Горизонтальный цилиндрический сосуд с двойными (теплоизолирующими) стенками, разделённый заштрихованным поршнем на две части с гелием (He); в левой части — спираль нагревателя с выводами наружу.

Отговори

Решение

Возможное решение

Запишем уравнения Менделеева-Клапейрона для 1 моль газа, находящегося в начальном и в конечном состоянии:

\begin{cases} P_0V = RT_0\\ P_1(V + \Delta V) = R(T_0 + \Delta T)\\ P_1(V - \Delta V) = R(T_0 + \Delta T_2)\end{cases}

Здесь учтено, что давление в левой и правой частях всегда (при равновесном процессе) одинаково, а суммарный объём частей не изменяется.

Составим пропорцию из уравнений для конечного состояния:

\frac{(V + \Delta V)}{(V - \Delta V)} = \frac{(T_0 + \Delta T)}{(T_0 + \Delta T_2)}

(V + \Delta V)(T_0 + \Delta T_2) = (V - \Delta V)(T_0 + \Delta T)

VT_0 + V\Delta T_2 + T_0\Delta V = VT_0 + V\Delta T - T_0\Delta V

2\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta T}{T_0} - \frac{\Delta T_2}{T_0} \qquad (1)

При раскрытии скобок мы пренебрегаем малыми величинами второго порядка $\Delta V\Delta T$ и $\Delta V\Delta T_2$ .

Запишем первое начало термодинамики для процессов в цилиндре:

\begin{cases} Q = A + \Delta U_{\text{ЛЕВ}} = A + \frac{3}{2}R\Delta T\\ 0 = -A + \Delta U_{\text{ПРАВ}} = -A + \frac{3}{2}R\Delta T_2\end{cases} \qquad (2)

Здесь учтено, что процесс в правой части сосуда адиабатный, а суммарная работа в системе равна нулю.

Для малых изменений объёма и давления работу можно представить в виде:

$A = P_0\Delta V$ , что даёт нам вместе с условием на адиабатный процесс (2):

0 = -P_0\Delta V + \frac{3}{2}R\Delta T_2 \Rightarrow \Delta V = \frac{3}{2}\frac{R\Delta T_2}{P_0} \Rightarrow \frac{\Delta V}{V} = \frac{3}{2}\frac{R\Delta T_2}{P_0V} \Rightarrow \frac{\Delta V}{V} = \frac{3}{2}\frac{R\Delta T_2}{RT_0} = \frac{3}{2}\frac{\Delta T_2}{T_0}

Подставляем эту связь в уравнение (1)

3\frac{\Delta T_2}{T_0} = \frac{\Delta T}{T_0} - \frac{\Delta T_2}{T_0} \Rightarrow \Delta T_2 = \frac{\Delta T}{4}.

Тогда

A = \frac{3}{2}R\frac{\Delta T}{4}

Q = \frac{3}{2}R\Delta T + \frac{3}{2}R\frac{\Delta T}{4} = \frac{15}{8}R\Delta T

Критерии оценивания

1	Записаны уравнения для начального и конечного состояний газа в правой и левой части сосуда	1 балл
2	В уравнениях состояния учтено равенство давлений и связь изменений объёмов	1 балл
3	Получено выражение (1) а) Если выражение (1) получено, а уравнения состояния не писались (сразу была написана пропорция) за пп.1-3 ставится 4 балла. б) Выражение (1) может быть записано в виде $2T_0\Delta V = V(\Delta T - \Delta T_2)$ с) Если в процессе получения выражения (1) малыми величинами второго порядка не пренебрегли, ставится полный балл	2 балла
4	Записаны выражения для I начала термодинамики в данных процессах а) Важно, чтобы в данных выражениях присутствовал факт адиабатного процесса в правой части и равенство работ газов (с противоположным знаком). Баллы ставятся именно за эти факты! б) Вместо двух выражений может быть записан один закон для системы в целом: $Q = \frac{3}{2}R\Delta T + \frac{3}{2}R\Delta T_2$	2 балла
5	Записано выражение для работы при малом изменении объема и давления	1 балл
6	Получена связь $\Delta V$ и $\Delta T_2$ : $\frac{\Delta V}{V} = \frac{3}{2}\frac{\Delta T_2}{T_0}$	1 балла
7	Определено изменение температуры $\Delta T_2$	1 балл
8	Получено окончательное выражение для $Q$	1 балл

Онлайн-разбор решений

22 января на портале http://abitu.net/vseros будет проведён онлайн-разбор решений задач теоретического тура. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 11.00; 8 класс – 12.00; 9 класс – 13.00; 10 класс – 14.30; 11 класс – 16.00. Чтобы при разборе задач вы могли задать вопросы, необходима регистрация на портале.

Оригинал в Архива: region19T.pdf