Съдържание

ВсОШ 2019, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 5. Каникулы в Простоквашино (2)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2019

LIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 21 января 2019 г. · 21 януари 2019 г.

Условие

От станции Простоквашино до дома, в котором живёт кот Матроскин, расстояние $s = 1{,}2$ км. Дядя Фёдор с Шариком приехал на станцию Простоквашино и пошёл домой вниз по склону со скоростью $\upsilon_{\text{Ф}} = 4$ км/ч, а Шарик побежал со скоростью $\upsilon_{\text{Ш},1} = 12$ км/ч. Добежав до дома Шарик повернул обратно и побежал вверх по склону навстречу дяде Фёдору со скоростью $\upsilon_{\text{Ш},2} = 8$ км/ч. Так пёс бегал вперед и назад между дядей Фёдором и домом вплоть до момента прибытия мальчика домой. Какой путь больше: суммарный путь $S_1$ , который Шарик пробежал, перемещаясь в сторону дома или $S_2$ который он пробежал, перемещаясь в обратном направлении. На сколько один путь длиннее другого? Определите $S_1$ и $S_2$ .

Отговори

Решение

Возможное решение

Задача 1. Каникулы в Простоквашино (2). Пусть $S_1$ – путь, который Шарик пробежал, перемещаясь в сторону дома, а $S_2$ – путь, который он пробежал перемещаясь в обратном направлении. Тогда $S_1 - S_2 = s$ , или

\upsilon_{\text{Ш},1}T_1 - \upsilon_{\text{Ш},2}T_2 = s. \qquad (1)

График x(t): прямая x = s − υФt от точки s на оси x до точки T = s/υФ на оси t; между осью t и этой прямой — зигзаг движения Шарика со стрелками: отрезки 1 и 3 (к дому) круче, отрезки 2 и 4 (обратно) положе; зигзаг сходится к точке T. — Рис. 2

Сумма времен $T_1$ и $T_2$ дает общее время движения дяди Фёдора: $T_1 + T_2 = \dfrac{s}{\upsilon_{\text{Ф}}}$ , (2)

которое, разумеется, совпадает с полным временем движения Шарика.

Решая систему уравнений (1-2), находим:

T_1 = \frac{\upsilon_{\text{Ш},2} + \upsilon_{\text{Ф}}}{\upsilon_{\text{Ш},1} + \upsilon_{\text{Ш},2}}\frac{s}{\upsilon_{\text{Ф}}} = 0{,}18\ \text{часа}

T_2 = \frac{\upsilon_{\text{Ш},1} - \upsilon_{\text{Ф}}}{\upsilon_{\text{Ш},1} + \upsilon_{\text{Ш},2}}\frac{s}{\upsilon_{\text{Ф}}} = 0{,}12\ \text{часа}.

S_1 = \upsilon_{\text{Ш},1}T_1 = s\frac{\upsilon_{\text{Ш},1}}{\upsilon_{\text{Ф}}}\frac{\upsilon_{\text{Ш},2} + \upsilon_{\text{Ф}}}{\upsilon_{\text{Ш},1} + \upsilon_{\text{Ш},2}} = 2{,}16\ \text{км},

S_2 = \upsilon_{\text{Ш},2}T_2 = s\frac{\upsilon_{\text{Ш},2}}{\upsilon_{\text{Ф}}}\frac{\upsilon_{\text{Ш},1} - \upsilon_{\text{Ф}}}{\upsilon_{\text{Ш},1} + \upsilon_{\text{Ш},2}} = 0{,}96\ \text{км}.

S_1 - S_2 = s = 1{,}2\ \text{км}.

Критерии оценивания

1	Указано, что $S_1 - S_2 = s = 1{,}2$ км.	2 балла
2	Указано, что $T_1 + T_2 = s/\upsilon_{\text{Ф}}$	2 балла
3	Найдено время $T_1$ (не обязательно в числах)	2 балла
4	Найдено время $T_2$ (не обязательно в числах)	2 балла
5	Найден путь $S_1$	1 балл
6	Найден путь $S_2$	1 балл

Онлайн-разбор решений

22 января на портале http://abitu.net/vseros будет проведён онлайн-разбор решений задач теоретического тура. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 11.00; 8 класс – 12.00; 9 класс – 13.00; 10 класс – 14.30; 11 класс – 16.00. Чтобы при разборе задач вы могли задать вопросы, необходима регистрация на портале.

Оригинал в Архива: region19T.pdf