Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2019, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10. Теоретический тур. 10 класс. Задача 5. Оцени и докажи

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2019

LIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап

Комплект задач подготовлен

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике

E-mail: olymp228@gmail.com

Сайт: www.physolymp.ru

Авторы задач

Теоретический тур

9 класс

Подоляко Е.
Замятнин М.
Замятнин М.
Аполонский А.
Слободянин В.

10 класс

Варламов С.
Воробьев И.
Колдунов Л., Жигар А.
Аполонский А.
Компанеец Р.

11 класс

Уймин А.
Аполонский А.
Аполонский А.
Маринюк В., Муравьев С., Чернов А.
Мельниковский Л.

Экспериментальный тур

9 класс

Кармазин С.
Кармазин С.

10 класс

Карманов М.
Ноян А.

11 класс

Юдин И.
Киселев А.

Выходные данные

Набор и вёрстка — Ерофеев И., Шевченко Н., Цыбров Ф., Алексеев А.

Общая редакция — Воронов А., Замятнин М., Карманов М., Аполонский А.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система $\LaTeX\,2_{\varepsilon}$ .

Подписано в печать 7 апреля 2019 г. в 01:24.

141700, Московская область, г. Долгопрудный

Московский физико-технический институт

Условие

Бесконечная сетка с квадратными ячейками собрана из одинаковых резисторов. В узел $A$ извне втекает ток $I$ (рис. 10). Оцените силу тока в звене $BC$ с погрешностью не более 10%. Докажите, что погрешность вашей оценки не превышает 10%.

Фрагмент бесконечной квадратной сетки резисторов; отмечены узлы B и C (соседние по горизонтали в верхнем ряду) и узел A под узлом B; в узел A снизу подходит провод с током I. — Рис. 10

Отговори

Решение

Из соображений симметрии очевидно, что из узла $A$ ток разбежится поровну по 4 возможным направлениям (рис. 30). Значит, $I_1 = I/4$ . В узле $B$ ток делится на 3 части. Из соображений симметрии понятно, что ток, бегущий вправо, будет равен току, бегущему влево. Обозначим эти токи $I_2$ , а оставшийся ток $I_3$ . Из соображений симметрии относительно прямой $AC$ следует, что по звену $FC$ тоже течет ток $I_2$ . Также из симметрии следует, что токи, вытекающие из узла $C$ вверх и вправо равны друг другу. Учитывая, что в узел $C$ втекает ток $2I_2$ , получаем, что вытекающие из него токи тоже равны $I_2$ .

Фрагмент сетки: узел A внизу, над ним узел B, над B узел D; справа от B узел C, над C узел E; F — под узлом C; к узлу A подходит изогнутая линия со стрелкой, подписанная I (втекающий ток). Стрелки токов: $I_1$ из A в B, $I_3$ из B в D, $I_2$ из B влево и вправо, $I_2$ из F в C, из C вправо и вверх в E, $I_2$ из E вверх, $I_4$ из D влево и вправо, $I_5$ из D вверх. — Рис. 30

Для узла $B$ : $I_1 = \frac{I}{4} = 2I_2 + I_3 \Rightarrow I_3 = \frac{I}{4} - 2I_2$ .

Напряжение между узлами $B$ и $E$ можно посчитать двумя способами: $I_3R + I_4R = I_2R + I_2R \Rightarrow I_4 = 2I_2 - I_3$ .

Для узла $D$ : $I_3 = 2I_4 + I_5$ . Так как $I_5 > 0$ , то $I_3 > 2I_4$ .

Преобразуем $I_3 > 2(2I_2 - I_3) \Rightarrow 3I_3 > 4I_2 \Rightarrow 3(\frac{I}{4} - 2I_2) > 4I_2 \Rightarrow 3I - 24I_2 > 16I_2 \Rightarrow I_2 < \frac{3}{40}I$ .

С другой стороны $I_4 > 0 \Rightarrow 2I_2 - I_3 > 0 \Rightarrow 2I_2 - \frac{I}{4} + 2I_2 > 0 \Rightarrow I_2 > \frac{I}{16}$ .

Значит $\frac{1}{16}I < I_2 < \frac{3}{40}I$ или $\frac{10}{160}I < I_2 < \frac{12}{160}I$ .

Окончательно получаем $I_2 = \left(\frac{11}{160} \pm \frac{1}{160}\right)I$ . Погрешность оценки составляет 1/11=9%.

Оригинал в Архива: Ru19.pdf