Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2019, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9. Теоретический тур. 10 класс. Задача 4. Заряженная пластинка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2019

LIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап

Комплект задач подготовлен

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике

E-mail: olymp228@gmail.com

Сайт: www.physolymp.ru

Авторы задач

Теоретический тур

9 класс

Подоляко Е.
Замятнин М.
Замятнин М.
Аполонский А.
Слободянин В.

10 класс

Варламов С.
Воробьев И.
Колдунов Л., Жигар А.
Аполонский А.
Компанеец Р.

11 класс

Уймин А.
Аполонский А.
Аполонский А.
Маринюк В., Муравьев С., Чернов А.
Мельниковский Л.

Экспериментальный тур

9 класс

Кармазин С.
Кармазин С.

10 класс

Карманов М.
Ноян А.

11 класс

Юдин И.
Киселев А.

Выходные данные

Набор и вёрстка — Ерофеев И., Шевченко Н., Цыбров Ф., Алексеев А.

Общая редакция — Воронов А., Замятнин М., Карманов М., Аполонский А.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система $\LaTeX\,2_{\varepsilon}$ .

Подписано в печать 7 апреля 2019 г. в 01:24.

141700, Московская область, г. Долгопрудный

Московский физико-технический институт

Условие

Тонкая плоская пластинка из диэлектрика в форме ромба со стороной $a$ и острым углом $60^{\circ}$ заряжена однородно с поверхностной плотностью заряда $\sigma$ . Потенциал в вершине острого угла ромба равен $\varphi_1$ , в вершине тупого — $\varphi_2$ (рис. 7). Из такого же диэлектрика вырезают тонкую пластинку в форме равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $2a$ и заряжают ее с такой же поверхностной плотностью заряда (рис. 8).

Три рисунка в ряд. Рис. 7: закрашенный ромб со сторонами a и острым углом 60° при левой вершине; правая вершина (острый угол) отмечена точкой $\varphi_1$, верхняя вершина (тупой угол) — точкой $\varphi_2$. Рис. 8: закрашенный равносторонний треугольник ABC (A слева внизу, C справа внизу, B вверху), левая сторона подписана 2a; точка D — середина стороны BC. Рис. 9: равносторонний треугольник A′B′C′, из которого вырезан перевёрнутый центральный треугольник (белый); остаются три закрашенных угловых треугольника; точка D′ — середина стороны B′C′. — Рис. 7; Рис. 8; Рис. 9

1. Определите потенциал в точке $C$ треугольной пластинки.

2. Определите потенциал в точке $D$ , лежащей на середине стороны треугольной пластинки.

Теперь из треугольной пластинки $ABC$ удаляют правильный треугольник со стороной $a$ (рис. 9).

3. Определите потенциал в точке $D'$ «дырявой» пластинки.

4. Определите потенциал в точке $C'$ «дырявой» пластинки.

Примечание. Все пластины удалены друг от друга и других тел.

Отговори

Решение

По принципу суперпозиций потенциал $\varphi_2$ равен удвоенному потенциалу вершины равносторонней треугольной пластины со стороной $a$ и поверхностной плотностью заряда $\sigma$ .

Серый равносторонний треугольник ABC (A слева внизу, B вверху, C справа внизу); E и D — середины сторон AB и BC (D отмечена точкой), F — середина AC; штриховые отрезки ED, EF и FD делят треугольник на четыре меньших. — Рис. 29

Если размеры пластины увеличить в 2 раза, сохранив поверхностную плотность заряда, то потенциал каждой точки тоже увеличится в 2 раза. Для доказательства этого факта можно разбить исходную пластинку на маленькие части, которые можно считать точечными зарядами. В результате масштабирования площадь каждой части увеличится в 4 раза, а значит и заряд вырастет в 4 раза, а расстояние до каждой части увеличится в 2 раза. Учитывая, что потенциал точечного заряда равен $\frac{kq}{r}$ , получим, что потенциал, создаваемый каждой маленькой частью, увеличится в 2 раза, значит и общий потенциал вырастет вдвое. Значит потенциал точки $C$ в 2 раза больше потенциала вершины пластины со стороной $a$ , $\varphi_C = \varphi_2$ .

Найдём потенциал точки $D$ . Для этого мысленно разобьем треугольник на 4 треугольника со сторонами $a$ . Заметим, что $AEDF$ — это исходный ромб, который создает в точке $D$ потенциал $\varphi_1$ . К нему нужно добавить потенциалы создаваемые треугольниками $BDE$ и $DFC$ (рис. 29). Потенциал каждого из них в вершине равен $\varphi_2/2$ . Отсюда $\varphi_D = \varphi_1 + \varphi_2$ .

После удаления центрального треугольника потенциал в точке $D$ уменьшился на $\varphi_2/2$ и стал равен $\varphi'_D = \varphi_1 + \varphi_2/2$ .

Для нахождения потенциала точки $C$ «дырявой» пластины нужно узнать, какой потенциал создавал в ней треугольник $DEF$ . Рассмотрим ромб $CFED$ . Его потенциал в точке $C$ равен $\varphi_1$ и складывается из потенциала создаваемого треугольником $DEF$ и потенциала создаваемого треугольником $FDC$ и равного $\varphi_2/2$ . Тогда треугольник $DEF$ создает в точке $C$ потенциал $\varphi_1 - \varphi_2/2$ . Значит после удаления центрального треугольника потенциал точки $C$ станет равным $\varphi'_C = \varphi_2 - \left(\varphi_1 - \frac{\varphi_2}{2}\right) = \frac{3}{2}\varphi_2 - \varphi_1$ .

Оригинал в Архива: Ru19.pdf