ВсОШ 2019, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11. Теоретический тур. 11 класс. Задача 1. Два цилиндра

• 1. $a = g\sin\alpha$
• 2. $a = g\sin\alpha,\quad v = \sqrt{2gR}\sin\alpha$
• 3. $\mu_{min} = \mathrm{tg}(2\alpha)$
• 4. $v = \sqrt{\frac{2gR\mu\sin\alpha}{\sqrt{1 + \mu^2}}}$

Если проскальзывания нет, то длина дуги $AB$ равна длине дуги $BD$ (и $OE$). Так как радиусы цилиндров различаются в два раза, то $\angle OCE = 2\cdot\angle AOB$.

Треугольник $OCE$ — равнобедренный, значит $\angle COE = 90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle OCE = 90^{\circ} - \angle AOB$, а значит $\angle AOE = 90^{\circ}$.

Таким образом тело всегда находится на перпендикуляре к $OA$, то есть движется по прямой, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом.

1. Запишем закон сохранения энергии для тела, которое движется по прямой линии. Пусть оно сместилось на расстояние $l$ вдоль прямой $OE$. Тогда изменение высоты равно $\Delta h = -l\sin\alpha$.

   В итоге получаем: $0 = -mgl\sin\alpha + \frac{mv^2}{2}$, а ускорение постоянно и равно:

   $$a = g\sin\alpha$$

2. Найдём изменение высоты тела, когда плоскость $OC$ вертикальна (рис. 32). $\Delta h = -R(1 - \cos(2\alpha))/2$. Тогда по закону сохранения энергии:

   $$v = \sqrt{2gR}\sin\alpha.$$

3. На систему «тело-меньший цилиндр» действуют сила тяжести $m\vec{g}$, сила реакции $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}_{\text{тр}}$ (рис. 33). Сумма векторов сил реакции и трения направлена перпендикулярно $OE$ (прямо на тело, т.к. на меньший цилиндр не может действовать ненулевой момент сил, потому что массой цилиндра и размером тела мы пренебрегаем) и равна по модулю $mg\cos\alpha$. Тогда:

   $$N = mg\cos\alpha\cos(\alpha + \beta)$$

   $$F_{\text{тр}} = mg\cos\alpha\sin(\alpha + \beta),$$

   где $\beta$ — угол отклонения плоскости $OC$ от вертикали, отсчитываемый в направлении качения.

   Условие $F_{\text{тр}} \le \mu N$ даёт условие для отсутствия проскальзывания:

   $$\mu \ge \mathrm{tg}(\alpha + \beta)$$

   Для того, чтобы плоскость $OC$ заняла симметричное начальному положение должно быть выполнено $\beta = \alpha$:

   $$\mu_{min} = \mathrm{tg}(2\alpha)$$

4. Проскальзывание начнётся при $\mathrm{tg}(\alpha + \beta) = \mu$. А к этому моменту тело вдоль прямой $OE$ пройдёт расстояние $l = R\sin(\alpha + \beta) = R\frac{\mu}{\sqrt{1 + \mu^2}}$.

   В таком случае из закона сохранения энергии получаем:

   $$v = \sqrt{\frac{2gR\mu\sin\alpha}{\sqrt{1 + \mu^2}}}$$

   Отметим, что при любом $\mu$ $l < R$, то есть проскальзывание всегда начинается раньше, чем тело ударится о поверхность большого цилиндра.