Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2019, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 13. Теоретический тур. 11 класс. Задача 3. Зачем нужны диоды

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2019

LIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап

Комплект задач подготовлен

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике

E-mail: olymp228@gmail.com

Сайт: www.physolymp.ru

Авторы задач

Теоретический тур

9 класс

Подоляко Е.
Замятнин М.
Замятнин М.
Аполонский А.
Слободянин В.

10 класс

Варламов С.
Воробьев И.
Колдунов Л., Жигар А.
Аполонский А.
Компанеец Р.

11 класс

Уймин А.
Аполонский А.
Аполонский А.
Маринюк В., Муравьев С., Чернов А.
Мельниковский Л.

Экспериментальный тур

9 класс

Кармазин С.
Кармазин С.

10 класс

Карманов М.
Ноян А.

11 класс

Юдин И.
Киселев А.

Выходные данные

Набор и вёрстка — Ерофеев И., Шевченко Н., Цыбров Ф., Алексеев А.

Общая редакция — Воронов А., Замятнин М., Карманов М., Аполонский А.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система $\LaTeX\,2_{\varepsilon}$ .

Подписано в печать 7 апреля 2019 г. в 01:24.

141700, Московская область, г. Долгопрудный

Московский физико-технический институт

Условие

Электрическая схема состоит из трех конденсаторов $C_1$ , $C_2$ , $C_3$ одинаковой емкости $C$ , катушки с индуктивностью $L$ , двух идеальных диодов, источника постоянного напряжения $U_0$ , ключа $K$ (рис. 12). Первоначально перед замыканием ключа конденсаторы не заряжены. Затем ключ переводят в положение 1, и, после установления равновесия, переключают в положение 2.

Схема: ромбовидный мост из конденсатора $C_1$ (левое верхнее плечо), диода D (правое верхнее плечо), диода D (левое нижнее плечо) и конденсатора $C_3$ (правое нижнее плечо), конденсатор $C_2$ соединяет верхний и нижний узлы моста. Под мостом катушка L, ведущая к контакту 2, и источник $U_0$ (полюса + и −), ведущий к контакту 1; ключ K справа переключается между контактами 1 и 2. — Рис. 12

1. Чему равны напряжения на конденсаторах $U_1$ , $U_2$ и $U_3$ перед переключением ключа в положение 2?

2. Чему равно максимальное значение $I_D$ тока через диоды после переключения ключа в положение 2?

3. В каких пределах $\big([U_1^{\min}, U_1^{\max}]$ , $[U_2^{\min}, U_2^{\max}]$ и $[U_3^{\min}, U_3^{\max}]\big)$ изменяются напряжения на конденсаторах после переключения ключа в положение 2?

4. Качественно изобразите график зависимости сила тока $I$ , протекающего через индуктивность, от времени.

5. Чему равен период колебаний $T$ тока $I$ ?

Активным сопротивлением индуктивности и проводов можно пренебречь.

Отговори

Решение

При замыкании ключа в положение 1, конденсаторы подключены к источнику параллельно и заряжаются до напряжения $U_0$ каждый (рис. 34). Заряд конденсаторов при этом $q_0 = CU_0$ .

Схема при ключе K в положении 1: три конденсатора (заряды $+q_0$ и «−» на обкладках) и два диода образуют ромбовидную часть цепи, подключённую к источнику $U_0$ (полярность «+» и «−»); контакт ключа 1. — Рис. 34

Схема после переключения ключа: узлы a, b, c, d; конденсатор $C_1$ (заряды $+q$, $-q$) между a и c, $C_2$ между c и d, $C_3$ (заряды $+q$, $-q$) между d и b; диоды между a и d и между c и b; катушка индуктивности в нижней ветви; стрелками показаны направления тока I. — Рис. 35

Рассмотрим начальный этап колебаний. Ток при этом течёт в направлениях, указанных на (рис. 35), напряжения на $C_1$ и $C_3$ уменьшаются, на $C_2$ — увеличивается. Потенциал $\varphi_d$ точки $d$ больше потенциала $\varphi_a$ точки $a$ , $\varphi_b$ больше, чем $\varphi_c$ , ток через диоды не течет.

Пусть в момент времени $t$ заряд конденсаторов $C_1$ и $C_3$ равен $q(t)$ ( $t = 0$ при переключении ключа в положение 2), $q(0) = q_0$ . Тогда протекший через индуктивность заряд $\Delta q = q_0 - q$ , а на конденсаторе $C_2$ заряд $q_2 = 2q_0 - q$ . Для контура $abdca$

L\dot{I} = \frac{q}{C} - \frac{2q_0 - q}{C} + \frac{q}{C}

Учитывая, что $I = -\dot{q}$ , получаем

-L\ddot{q} = \frac{3q}{C} - \frac{2q_0}{C} \quad \Rightarrow \quad L\ddot{q} + \frac{3}{C}\left(q - \frac{2}{3}q_0\right) = 0

Заменив $q - \frac{2}{3}q_0 = q_1$ , учитывая, что $\ddot{q} = \ddot{q}_1$ , получим

L\ddot{q}_1 + \frac{3}{C}q_1 = 0.

Это уравнение гармонических колебаний, причём при $t = 0$ $q_1(0) = q_0/3$ . Решение этого уравнения $q_1(t) = q_1(0)\cos\omega t = \frac{q_0}{3}\cos\omega t$ , где $\omega = \sqrt{3/LC}$ .

Для заряда $q(t)$ имеем

q(t) = q_1(t) + \frac{2}{3}q_0 = q_0\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\cos\omega t\right).

Качественный график $I(t)$ — синусоида симметричная относительно оси времени и выходящая из начала координат.

Ток через индуктивность при этом меняется по гармоническому закону

I(t) = -\dot{q} = \frac{\omega q_0}{3}\sin\omega t

Для заряда $q_2(t)$ конденсатора $C_2$ имеем

q_2(t) = 2q_0 - q(t) = q_0\left(\frac{4}{3} - \frac{1}{3}\cos\omega t\right). \qquad (5)

При $t = \frac{T}{2} = \frac{\pi}{\omega} = \pi\sqrt{\frac{LC}{3}}$ ток через индуктивность становится равен 0, затем течёт в обратном направлении. Однако диоды по-прежнему «закрыты», так как $\varphi_d > \varphi_a$ и $\varphi_b > \varphi_c$ , поэтому в колебаниях участвует всё та же последовательная цепочка и все ранее выписанные уравнения для колебаний остаются справедливыми. По истечении полного периода колебаний $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{LC}{3}}$ ток прекращается, конденсаторы возвращаются в исходное состояние и процесс повторяется вновь. Таким образом, в процессе колебаний ток через диоды не течет и колебания тока являются гармоническими с периодом $T = 2\pi\sqrt{\frac{LC}{3}}$ . Напряжение на конденсаторах $C_1$ и $C_3$ в соответствии с (3) меняется в пределах от $\frac{U_0}{3}$ до $U_0$ , на конденсаторе $C_2$ в соответствии с (5) в пределах от $U_0$ до $\frac{5U_0}{3}$ , знаки зарядов на пластинах всех трех конденсаторов не меняются.

Оригинал в Архива: Ru19.pdf