ВсОШ 2019, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 14. Теоретический тур. 11 класс. Задача 4. Магнитный шнур

• 1. $l$
• 2. $x = \sqrt{l_1^2 - l^2}$

Решение 1.

Шнур расположится в магнитном поле провода так, чтобы энергия его взаимодействия с полем постоянного тока была минимальна. Просуммируем энергии взаимодействия маленьких элементов шнура с полем, получаем

где $\Delta l_1, \Delta l_2, \Delta l_3, \ldots$ — длины малых элементов, на которые мы разбиваем шнур, $B_1$, $B_2$, $B_3, \ldots$ — индукции магнитного поля провода в тех точках, где находятся соответствующие малые элементы шнура, $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\varphi_3, \ldots$ — углы между векторами индукции магнитного поля и соответствующими малыми элементами шнура, $k$ — коэффициент пропорциональности, зависящий от «силы» магнитов, и потому одинаковый для всех элементов шнура, поскольку он однороден.

Для индукции магнитного поля, создаваемого прямым током, имеем

где $\mu_0$ — магнитная постоянная, $I$ — сила тока в проводе, $r$ — расстояние от провода до точки наблюдения. Причем вектор $\vec{B}$, модуль которого определен формулой (7), в каждой точке направлен по касательной к окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной проводу. Отсюда сразу следует, что весь шнур должен лежать в одной плоскости, перпендикулярной проводу. Действительно, «выход» шнура из этой плоскости увеличит углы между его элементами и вектором индукции, и потому энергетически невыгоден. Подставляя индукцию (7) в формулу (6), получаем

где $r_1$, $r_2$, $r_3, \ldots$ — расстояние от провода в тех точках, где находятся соответствующие малые элементы шнура. Минимуму энергии (8) отвечает максимум выражения в скобках.

Каждое слагаемое в скобках выражения (8) соответствует углу $\Delta\alpha_i = \frac{\Delta l_1\cos(\varphi_i)}{r_i}$, под которым виден элемент шнура из точки провода. А, следовательно, сумма в скобках — это угол $\alpha$, под которым из точки провода виден весь шнур. Таким образом, минимуму энергии шнура отвечает такое его расположение, когда угол $\alpha$, под которым виден весь шнур из точки провода, лежащей в той же плоскости, что и шнур, максимален. Найдем это положение.

Угол $\alpha$ максимален, когда шнур прямой (рис. 37) и (рис. 38), следовательно расстояние между его концами равно длине провода $l$. Угол $\alpha$ максимален, когда сам шнур и отрезок, соединяющий его свободный конец перпендикулярны. При этом расстояние от провода до этого конца шнура равно $\sqrt{l_1^2 - l^2}$.

Решение 2.

Шнур расположится в магнитном поле провода так, чтобы энергия его взаимодействия с полем была минимальна. Энергия малого элемента шнура в магнитном поле описывается в точности такой же формулой, что и энергия электрического диполя (системы двух зарядов $+q$ и $-q$, расположенных на малом расстоянии $\Delta l$ друг от друга) в электрическим поле $\vec{E}$. Поэтому при определении равновесного положения шнура во внешнем поле $\vec{B}$ можно заменить его на «цепочку» из диполей в поле $\vec{E}$ такой же конфигурации, что и $\vec{B}$. В этой «цепочке» диполи ориентированы вдоль неё, и противоположные заряды соседних диполей компенсируются. Поэтому «цепочка» из диполей эквивалентна гибкой цепочке с зарядами $+q$ и $-q$ на концах.

Если пренебречь взаимодействием этих зарядов и силой тяжести, то очевидно, что вектор $\vec{E}$ в точке расположения свободного конца цепочки должен быть направлен вдоль цепочки (сила $q\vec{E}$ уравновешивается силой натяжения цепочки). Также ясно, что в состоянии равновесия цепочка, растягиваемая за свободный конец, будет отрезком, проходящим через закреплённый конец и $\vec{E}$. Значит расстояние между его концами равно длине шнура $l$.

Возвращаясь к шнуру в поле провода, приходим к выводу: шнур будет растянут по прямой в плоскости перпендикулярной проводу и перпендикулярен радиусу, проведённому от оси провода к свободному концу шнура (рис. 38). Значит $x = \sqrt{l_1^2 - l^2}$.