Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2019, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 15. Теоретический тур. 11 класс. Задача 5. Русалочка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2019

LIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап

Комплект задач подготовлен

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике

E-mail: olymp228@gmail.com

Сайт: www.physolymp.ru

Авторы задач

Теоретический тур

9 класс

Подоляко Е.
Замятнин М.
Замятнин М.
Аполонский А.
Слободянин В.

10 класс

Варламов С.
Воробьев И.
Колдунов Л., Жигар А.
Аполонский А.
Компанеец Р.

11 класс

Уймин А.
Аполонский А.
Аполонский А.
Маринюк В., Муравьев С., Чернов А.
Мельниковский Л.

Экспериментальный тур

9 класс

Кармазин С.
Кармазин С.

10 класс

Карманов М.
Ноян А.

11 класс

Юдин И.
Киселев А.

Выходные данные

Набор и вёрстка — Ерофеев И., Шевченко Н., Цыбров Ф., Алексеев А.

Общая редакция — Воронов А., Замятнин М., Карманов М., Аполонский А.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система $\LaTeX\,2_{\varepsilon}$ .

Подписано в печать 7 апреля 2019 г. в 01:24.

141700, Московская область, г. Долгопрудный

Московский физико-технический институт

Условие

В открытом море вода совсем синяя, как лепестки самых красивых васильков, и прозрачная, как чистое стекло, — но зато и глубоко там! Ни один якорь не достанет до дна; на дно моря пришлось бы поставить одну на другую много-много колоколен, только тогда бы они могли высунуться из воды. На самом дне живут русалки.

Рисунок пером: ночное море, в небе Луна, на воде светлая лунная дорожка, на переднем плане на каменистом берегу стоит фигурка принца в короне. — Рис. 14

Г.Х. Андерсен.

Ясной ночью принц, ростом $H = 1{,}8$ м, мечтал на берегу спокойного Тихого океана и смотрел на лунную дорожку, которая начиналась от него на расстоянии $D_{\text{П}} = 5$ м по горизонтали и имела длину $L_{\text{П}} = 50$ м. В это же самое время у берега под водой на глубине $H$ лежала Русалочка, тоже о чем-то мечтая.

1. На каком расстоянии $D_{\text{Р}}$ от себя (тоже по горизонтали) лунную дорожку будет видеть Русалочка?

2. Какой длины $L_{\text{Р}}$ будет эта дорожка?

Считайте, что легкий бриз создает мелкую одинаковую рябь по всей поверхности океана. Показатель преломления морской воды $n = 1{,}35$ . Угловым размером Луны можно пренебречь.

Указание.

Бриз, -а, м. Слабый береговой ветер, дующий днём с моря на сушу, а ночью с суши на море.
Рябь, -и, ж.
1. Мелкое волнение водной поверхности. Озеро подёрнулось рябью.
2. Ощущение в глазах пестроты, множества разноцветных точек. В глазах р.

С.И. Ожегов и Н.Ю. Шведова

Толковый словарь русского языка

Отговори

Решение

Рисунок хода лучей: принц в короне стоит на берегу, Русалочка лежит под водой; параллельные лучи Луны падают на волнистую поверхность воды под углом α к горизонту; отражённые лучи идут к глазам принца под углами α + 2φ и α − 2φ, преломлённые лучи идут в воду к Русалочке под углами $\beta_1$ и $\beta_2$ к горизонтали. — Рис. 39

Обозначим высоту Луны над горизонтом $\alpha$ , а амплитуду наклона поверхности воды $\varphi$ . Направление лучей, ограничивающих видимую принцем лунную дорожку, определяется углами $\alpha + 2\varphi$ и $\alpha - 2\varphi$ (рис. 39):

\mathrm{tg}(\alpha + 2\varphi) = \frac{H}{D_{\text{П}}}, \quad \mathrm{tg}(\alpha - 2\varphi) = \frac{H}{D_{\text{П}} + L_{\text{П}}}

Отсюда,

\alpha = \frac{1}{2}\left(\mathrm{arctg}\,\frac{H}{D_{\text{П}}} + \mathrm{arctg}\,\frac{H}{D_{\text{П}} + L_{\text{П}}}\right) \approx 0{,}189

\varphi = \frac{1}{4}\left(\mathrm{arctg}\,\frac{H}{D_{\text{П}}} - \mathrm{arctg}\,\frac{H}{D_{\text{П}} + L_{\text{П}}}\right) \approx 0{,}078

Из закона преломления

n\cos(\beta_1 - \varphi) = \cos(\alpha - \varphi) \quad \text{и} \quad n\cos(\beta_2 + \varphi) = \cos(\alpha + \varphi)

Таким образом

\beta_1 = \arccos\left(\frac{\alpha - \varphi}{n}\right) + \varphi

\beta_2 = \arccos\left(\frac{\alpha - \varphi}{n}\right) - \varphi

Учитывая, что

\mathrm{tg}\,\beta_1 = \frac{H}{D_P}, \quad \mathrm{tg}\,\beta_2 = \frac{H}{D_P + L_P}.

получим

D_P = H\,\mathrm{ctg}\,\beta_1 = 1{,}67\ \text{м}, \quad L_P = H\,\mathrm{ctg}\,\beta_2 - D_P = 0{,}48\ \text{м}.

Оригинал в Архива: Ru19.pdf