ВсОШ 2019, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 6. Теоретический тур. 10 класс. Задача 1. Гантель

• 1. $\omega = \sqrt{\frac{F\cos\alpha}{Lm_1}}$
• 2. $\beta = \frac{F\sin\alpha}{Lm_1}$
• 3. $\tau = \sqrt{\frac{Lm_1\cos\alpha}{F\sin^2\alpha}}$
• 4. $\varphi = \frac{\mathrm{ctg}\,\alpha}{2}$

Рассмотрим момент времени $\tau$. Так как стержень не напряжен, то ускорение груза с массой $m_2$ равно нулю. Если выбрать инерциальную систему отсчета, в которой эта шайба ($m_2$) в данный момент времени имеет нулевую скорость, то шайба с массой $m_1$ в этот момент движется по траектории, радиус кривизны которой равен $L$. Проекция ускорения шайбы $m_1$ на стержень в этот момент равна $\frac{F\cos\alpha}{m_1}$, и эта же проекция равна $\omega^2L$. Значит угловая скорость вращения стержня в этот момент времени равна: $\omega = \sqrt{\frac{F\cos\alpha}{Lm_1}}$.

Найдем угловое ускорение. За небольшой промежуток времени после начала действия силы шайба, к которой приложена сила, сместится в направлении перпендикулярном к первоначальному направлению расположения стержня на малое расстояние

Следовательно, стержень повернется на малый угол, равный

Так как в условии сказано, что угловое ускорение стержня является постоянным, то $d\varphi = \beta\frac{t^2}{2}$, отсюда получаем угловое ускорение $\beta = \frac{F\sin\alpha}{Lm_1}$. Так как угловое ускорение постоянно, то $\omega = \beta\tau$, откуда $\tau = \sqrt{\frac{Lm_1\cos\alpha}{F\sin^2\alpha}}$. Угол поворота к моменту времени $\tau$ равен $\varphi = \frac{\beta\tau^2}{2} = \frac{\mathrm{ctg}\,\alpha}{2}$.