ВсОШ 2019, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 7. Теоретический тур. 10 класс. Задача 2. Поканальное движение

• $\frac{kq^2}{2R}$

Введём оси координат $XY$ с началом в точке пересечения каналов $O$, направленные вдоль них (рис. 26). Если $x$ и $y$ координаты частиц, то при неизменности расстояния между ними имеем:

При неизменности расстояния, а значит и потенциальной энергии, из закона сохранения энергии следует, что сумма квадратов скоростей шариков неизменна

Для ускорений шариков из 2-го закона Ньютона и закона Кулона:

поскольку поперечные каналам проекции кулоновской силы уравновешиваются силами нормальной реакции опоры, а сил трения нет.

Рассмотрим воображаемую «квазичастицу» массой $m$, движущуюся в плоскости $XY$. Пусть координаты частицы равны координатам $x$ и $y$ наших шариков. Пусть на частицу действует сила равная $kq^2/R^2$ и направленная к точке $O$. Заметим, что проекции ускорения «квазичастицы» на оси $X$ и $Y$ в точности равны ускорениям исходных частиц $a_x$ и $a_y$. Учитывая, что и координаты «квазичастицы» равны координатам исходных частиц, получим, что движение «квазичастицы» по окружности радиуса $R$ эквивалентно движению исходных частиц. Заметим, что скорость движения квазичастицы по окружности $v$ постоянна, так как $v^2 = v_x^2 + v_y^2$.

Для центростремительного ускорения квазичастицы из выражений для проекций ускорения имеем:

откуда для искомой кинетической энергии