ВсОШ 2020, Регионален етап, 10. клас — Задача 10.1 Шарик на нити

• $\varphi = \mathrm{ctg}\,\alpha$

Возможное решение. Шарик движется под действием двух сил: силы сопротивления воздуха, направленной против скорости и обеспечивающей тангенциальную составляющую ускорения, и силы натяжения нити, направленной вдоль нити и обеспечивающей центростремительную составляющую ускорения.

Тангенциальная составляющая ускорения $a_\tau = a\sin\alpha = k\upsilon / m$, где $\upsilon$ – скорость, $k$ – коэффициент в формуле для силы сопротивления, а $m$ – масса шарика.

Центростремительная составляющая ускорения $a_{\text{цс}} = a\cos\alpha = \upsilon^2 / R$, где $R$ радиус окружности.

Отношение этих составляющих даёт $\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{k\upsilon R}{m\upsilon^2} = \dfrac{kR}{m\upsilon}$.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на направление движения для произвольного i - го момента времени: $m\dfrac{d\upsilon_i}{dt_i} = -k\upsilon_i = -k\dfrac{dS_i}{dt_i}$, где $S$ - пройденный путь. Сократив на $dt_i$ получим: $md\upsilon_i = -kdS_i$. Последнее выражение справедливо для любого малого момента времени. Запишем такое выражение для каждого момента времени и просуммируем их по всем временным отрезкам, тогда получим: $m\Delta\upsilon = -k\Delta S$. Отсюда: $m\left(0 - \upsilon\right) = -k\left(S - 0\right)$, или $S = \dfrac{m\upsilon}{k} = \dfrac{R}{\mathrm{tg}\,\alpha} = R\varphi$. Окончательно получаем $\varphi = \mathrm{ctg}\,\alpha$.

Критерии оценивания