Съдържание

ВсОШ 2020, Регионален етап, 11. клас — Задача 1. Диполь в шаре

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2020

LIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 23 января 2020 г. · 23 януари 2020 г.

Бележка

24 января на портале http://abitu.net/vseros будет проведён онлайн-разбор решений задач теоретического тура. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 11.00; 8 класс – 10.00; 9 класс – 12.00; 10 класс – 13.30; 11 класс – 15.00. 26 января состоится онлайн-разбор решений заданий экспериментального тура. Начало разбора: 7 класс – 11.00; 8 класс – 10.00; 9 класс – 12.00; 10 класс – 13.30; 11 класс – 15.00.

Условие

В большом однородном непроводящем шаре вдоль диаметра $d$ просверлен узкий канал. Шар равномерно заряжен по объёму с объёмной плотностью заряда $\rho > 0$ и закреплён. Вещество шара не поляризуется.

Серый шар диаметра d с узким каналом вдоль диаметра; внизу увеличенная вставка: вход в канал и диполь из двух шариков на стержне длиной l.

Ко входу в канал подносят диполь, образованный двумя заряженными шариками одинаковой массы, закреплёнными на концах лёгкого жёсткого непроводящего стержня, и отпускают. Через время $t_{\text{д}}$ он оказывается на противоположном конце канала. Когда то же самое проделывают с одним из шариков, он пролетает канал за время $t_{\text{ш}}$ .

Определите плечо диполя $l$ , считая, что $l \ll d$ .

Укажите знак ближнего к шару заряда диполя в момент старта в первом случае и знак заряда шарика во втором. Диаметр шариков практически равен диаметру канала.

Примечание. Диполем называется система из двух одинаковых по величине, но разных по знаку электрических зарядов, находящихся на фиксированном расстоянии $l$ (плечо диполя) друг от друга.

Решение

Возможное решение. Напряжённость внутри однородно заряженного шара можно найти из теоремы Гаусса:

E(x) = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}x,

где $\rho$ – объёмная плотность заряда шара, $x$ – расстояние до центра шара.

На диполь в электрическом поле действует равнодействующая двух кулоновских сил. Для втягивания диполя в шар нужно расположить его таким образом, чтобы ближний к центру шара заряд был положительным, так как поле ближе к центру слабее, а нам надо добиться превосходства силы притяжения над силой отталкивания.

F_{Д} = F_+ - F_- = q(E(x+l) - E(x)) = \frac{ql\rho}{3\varepsilon_0} = \mathrm{const},

где $q$ – заряд диполя (модуль заряда каждого из шариков).

Таким образом, диполь будет разгоняться с постоянным ускорением $a_{д}$ до вылета из шара.

\begin{cases} d = \dfrac{a_{д}t_{д}^2}{2}, \\[2mm] a_{д} = \dfrac{ql\rho}{6m\varepsilon_0}, \end{cases}

где $m$ – масса одного из шариков диполя.

t_{д} = \sqrt{\frac{3m\varepsilon_0}{q\rho}}\sqrt{\frac{4d}{l}}.

Рассмотрим движение одного шарика. Если заряд шарика по знаку совпадает с зарядом большого шара, то в канал его не втянет, значит в условии речь идёт о шарике с противоположным (отрицательным) зарядом.

Второй закон Ньютона запишется в виде:

ma = qE(x),

m\ddot{x} = -\frac{q\rho}{3\varepsilon_0}x.

Это уравнение гармонических колебаний с периодом

T = 2\pi\sqrt{\frac{3m\varepsilon_0}{q\rho}}.

До противоположного конца канала шарик долетит за время

t_{ш} = \frac{T}{2} = \pi\sqrt{\frac{3m\varepsilon_0}{q\rho}}.

Используя выражения для $t_{ш}$ и $t_{д}$ , получаем ответ:

l = d\left(\frac{2}{\pi}\frac{t_{ш}}{t_{д}}\right)^2.

Критерии оценивания

Получено или использовано без вывода правильное выражение для напряжённости электрического поля $E(x)$ внутри шара — 1,5 балла
Получено правильное выражение для силы, действующей на диполь в шаре — 1,5 балла
Правильно указан знак заряда ближнего к центру шара шарика диполя в начальном положении — 0,5 балла
Получено правильное уравнение движения диполя — 1 балл
Получено правильное выражение для $t_{д}$ — 1 балл
Правильно указан заряд шарика, втягивающегося в шар — 0,5 балла
Получено уравнение гармонических колебаний для движения шарика — 2 балл
Получено правильное выражение для $t_{ш}$ — 1 балл
Получено правильное выражение для $l$ — 1 балл

Оригинал в Архива: tasks-phys-11-teor-reg-19-20.pdf · официални решения: ans-phys-11-teor-reg-19-20.pdf