ВсОШ 2020, Регионален етап, 11. клас — Задача 1. «Газировка (II)»

Возможное решение. Силу трения поршня о стенки можно считать несущественной по сравнению с силой давления газа на поршень. В этом можно убедиться, сжимая воздух в пустом шприце, закрытом заглушкой.

Откроем бутылку и аккуратно наберём из неё некоторое количество газировки в пустой шприц (около 5 мл). Сразу же заткнём кончик шприца заглушкой. Поскольку бутылка была только что открыта, то концентрация растворённого в ней углекислого газа соответствует давлению внутри бутылки.

Будем встряхивать шприц, чтобы ускорить переход системы в равновесное состояние. При этом поршень шприца должен иметь возможность свободно перемещаться, обеспечивая равенство давления внутри шприца атмосферному давлению $p_0$. Газ, растворённый в воде, выделяется в газовую фазу при давлении, равном $p_0$, и объём под поршнем увеличивается на величину объёма газа $V_{\text{г}}$ (рис.1).

Спустя некоторое время (5 – 10 минут) установится равновесное состояние, при котором количество растворённого углекислого газа будет соответствовать $p_0$, а давление углекислого газа под поршнем равно $p_0$.

Для порции воды, набранной в шприц из бутылки, $\nu_0 = \alpha V_{\text{в}} p$, где $V_{\text{в}}$ – объём воды, набранной в шприц, $\nu_0$ – количество растворённого в ней газа, $p_0$ – давление газа в бутылке. После установления равновесия в воде в растворённом виде находится $\nu_{\text{в}} = \alpha V_{\text{в}} p_0$ моль газа, в газовой фазе $\nu_{\text{г}} = \dfrac{V_{\text{г}} p_0}{RT}$. Приравнивая $\nu_0 = \nu_{\text{в}} + \nu_{\text{г}}$, получаем:

откуда

Повторим измерения несколько раз, в каждом случае аккуратно открывая и тут же закрывая бутылку.

Теперь определим давление углекислого газа в бутылке. Эту процедуру лучше проделывать после предыдущих измерений с набором воды в шприц, чтобы минимизировать потери газа. Для этого выдвинем поршень шприца в положение 20 мл, установим заглушку и аккуратно поместим шприц внутрь бутылки с водой, сразу закрыв пробку бутылки. Встряхивая бутылку, периодически наблюдаем за положением поршня в шприце. Через некоторое время (5 – 10 минут) в бутылке установится равновесное давление $p$, а объём воздуха в шприце уменьшится от первоначального значения $V_1 = 20$ мл, до некоторого значения $V_2 = V_1 p / p_0$ (рис.2).

Отсюда $p = p_0 V_1 / V_2.$

Отметим, что при выполнении части работы, связанной с помещением шприца в бутылку, потери газа становятся заметными (по нашим данным давление при повторных измерениях уменьшается примерно на 5% при каждом последующем измерении), поэтому это измерение есть смысл с учётом ограниченного количества бутылок выполнять однократно.

Приведём результаты, полученные нами при использовании бутылки (0,5 л) минеральной воды «Aqua minerale»: $V_1 = (20{,}0 \pm 0{,}5)$ мл, $V_2 = (7{,}0 \pm 0{,}5)$ мл, $p = (2{,}85 \pm 0{,}25)$ атм.

Измерения объёма газа под поршнем с целью определения α: $T = 298$ K,

Оценка систематической погрешности определения $\alpha$:

Случайная погрешность для α по данным таблицы: $\Delta\alpha \approx 0{,}15 \cdot 10^{-4}\ \text{моль}/(\text{Па}\cdot\text{м}^3)$

Окончательно $\alpha = (3{,}7 \pm 0{,}7)\cdot 10^{-4}\ \text{моль}/(\text{Па}\cdot\text{м}^3)$.

Критерии оценивания

1. Предложен и реализован метод проверки малости силы трения поршня о стенки шприца 1 балл
2. Предложена идея метода определения давления газа в бутылке 2 балла

Примечание: кроме авторского, возможны иные способы определения давления, связанные с анализом формул, линеаризацией зависимостей и т.д. Большинство таких методов не позволяют получить хорошую точность, и идея такого метода оценивается в 1 балл.

3. Проведены эксперименты по определению давления газа по предложенному методу и получены численные результаты 1 балл
4. Результат определения давления в бутылке отличается от результатов контрольных экспериментов, проведённых членами жюри, не более, чем

а) на 15% 2 балла
б) на 15-30% 1 балл 5. Проведена разумная оценка систематической погрешности определения давления 0,5 балла 6. Предложен и доведён до формул осуществимый метод определения коэффициента $\alpha$ 2 балла 7. Проведено достаточное количество измерений для реализации п.6 а) не менее пяти 3 балла
б) не менее трёх 2 балла
в) одно измерение 1 балл 8. При обработке экспериментальных данных по п.7 получено значение $\alpha$ в пределах а) $(3{,}5 \pm 0{,}5)\cdot 10^{-4}$ моль/(Па·м³) 3 балла
б) $(3{,}5 \pm 1{,}0)\cdot 10^{-4}$ моль/(Па·м³) 2 балла
в) $(3{,}5 \pm 2{,}0)\cdot 10^{-4}$ моль/(Па·м³) 1 балл 9. Проведена разумная оценка погрешности определения $\alpha$ 0,5 балла

Требования к оборудованию:

1. Бутылки с газированной водой: две бутылки с минеральной газированной водой, объёмом 0,5 литра, невскрытые. Выдаются участникам при комнатной температуре. Также важно обеспечить минимальное взбалтывание воды. В идеале надо расставить её на рабочих местах с вечера и дать отстояться до начала тура. Хорошие результаты получаются с «Аква минерале», но подойдёт и любая другая вода без сахара. Необходимо проверить, что размеры пустой бутылки позволяют поместить внутрь шприц с полностью выдвинутым поршнем. Этикетки с бутылок необходимо удалить!!! Каждому участнику выдаются новые бутылки!!!
2. Шприц 20 мл с ценой деления 1 мл, обязательно с резиновым поршнем. Поршень внутри шприца должен перемещаться с небольшим трением. Для проверки наберите в шприц воздух примерно на половину объёма шприца, заткните отверстие и надавите на поршень. После прекращения давления поршень должен возвращаться в исходное состояние. Также поршень не должен пропускать воздух, если давление внутри шприца больше или меньше атмосферного примерно в 3 раза. Шприц выдаётся без иглы. На корпусе шприца должны быть нанесены хорошо читающиеся деления. ВАЖНО!!! Упоры для пальцев на корпусе шприца необходимо аккуратно обрезать острым ножом так, чтобы шприц с выдвинутым поршнем (без иглы!) полностью помещался внутрь пустой бутылки. Допускается повторное использование шприца, но лучше иметь запас на случай порчи оборудования предыдущим участником.
3. Заглушка на шприц. Изготавливается из иглы, идущей в комплекте. Нужно отломить металлическую иголку от пластмассового основания (канюли) и загерметизировать канюлю. Для герметизации можно затолкать и уплотнить с помощью зубочистки или спички небольшое количество пластилина или жевательной резинки. Подготовленная таким образом канюля должна плотно надеваться на носик шприца. ВАЖНО!!! Проверьте герметичность заглушки при давлениях внутри шприца от $3P_{\text{атм}}$, так как герметичность принципиальна в этой задаче. Допускается повторное использование затычки, но лучше иметь запас на случай порчи оборудования предыдущим участником.
4. Одноразовые стакан, нож и тарелка. Подойдут любые из наборов пластмассовой посуды, продающихся в магазинах. Однако, тарелки лучше выбрать большого размера. Стакан и тарелка используются для поддержания рабочего места в чистоте, нож – для удаления этикетки с бутылок.
5. Салфетки. Лучше использовать бумажные салфетки в рулоне. Каждому участнику выдаётся 3-4 салфетки для поддержания рабочего места в чистоте. Необходимо иметь достаточный запас салфеток у дежурных по аудитории (примерно, рулон на 10 человек).