ВсОШ 2020, Регионален етап, 9. клас — Задача 1. Плотность провода (III)

• $m_{\text{и}} = 2{,}14$ г, $m_{\text{м}} = 12{,}44$ г (прямое взвешивание: $2{,}09$ г и $12{,}57$ г); $V_{\text{м}} = 1{,}46\ \text{см}^3$, $V_{\text{и}} = 1{,}55\ \text{см}^3$; $\rho_{\text{м}} = 8{,}52$ г/см³, $\rho_{\text{и}} = 1{,}38$ г/см³ (гидростатическое взвешивание: $1{,}33$ г/см³).

  Значения из официального решения для медного провода сечением 2,5 мм²; результаты участников зависят от выданного образца.

Указание организаторам: Лучше всего подойдёт медный одножильный провод сечением 2,5 мм$^2$ в изоляции. Каждому участнику необходимо выдать один прямой отрезок провода длиной 600 мм, с половины которого снята изоляция. Длина нитки 20 – 25 см. Провод в изоляции должен вставляться в прозрачную трубку, а трубка надеваться на подыгольный конус шприца. Длина трубки на несколько сантиметров больше половины длины провода, т.е. 33 – 35 см.

Решение. В данном решении использовался медный провод сечением 2,5 мм$^2$.

1. Определим отношение $\alpha = m_{\text{м}}/m_{\text{и}}$. Для повышения точности сделаем это трижды. Расположим центр тяжести системы провод - изоляция на краю линейки при двух положениях провода и измерим три различных расстояния $y_1$, $y_2$, $y_3$ (рис.1).

Ниже записано правило моментов для каждого измерения, приведены экспериментальные значения $y_1$, $y_2$, и $y_3$, вычислены значения $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ и среднее значение $\alpha = 5{,}83$.

2. На край изоляции провода повесим шприц (рис.2). Массу пустого шприца обозначим $m_0$. Установим зависимость длины изоляции $X$, расположенной левее центра тяжести системы, от массы воды $m_{\text{в}}$ в шприце. Данные запишем в таблицу.

Табл.1

Уравнение моментов для системы провод-шприц

Как видно, зависимость $X(m_{\text{в}})$ нелинейная. Линеаризуем её. Вычтем 2 из обеих частей уравнения (2), приведём правую часть к общему знаменателю, поменяем знак и приравняем обратные величины получившихся выражений:

Левая часть равенства (3) является линейной функцией $m_{\text{в}}$. Введём обозначение $Z = \frac{1}{2 - \frac{4X}{L}}$ и занесём значения $Z$ в таблицу. График зависимости $Z(m_{\text{в}})$ представлен на рис.3.

С учётом (1) и (3) по наклону прямой находим $m_{\text{и}} = 2{,}14$ г, $m_{\text{м}} = 12{,}44$г.

Непосредственное взвешивание разделённых частей провода даёт значения $m_{\text{и}} = 2{,}09$ г, $m_{\text{м}} = 12{,}57$г.

3. Одним из возможных способов измерения диаметра металлической части провода и внешнего диаметра изоляции является прокатывание по линейке. Однако, учитывая длину провода и наличие только одной линейки, реализовать прокатывание с достаточным количеством оборотов (не менее 10) без проскальзывания весьма затруднительно. Тем не менее, использование этого способа при тщательном проведении эксперимента может дать приемлемые результаты, и его тоже следует засчитывать при оценивании работы.

Предлагается измерять объём провода без изоляции и в изоляции путём измерения (при помощи шприца) объёма воды, которая заполняет гибкую трубку с проводом и без провода. В этом случае вычисления диаметров металлической части и изоляции не требуется. Для повышения точности измерений следует использовать инсулиновый шприц объёмом 1 мл.

В табл.2 приведены результаты соответствующих измерений с использованием следующих обозначений:

• $V_{\text{т}}$ – объём воды в пустой трубке
• $V_{\text{тм}}$ – объём воды в трубке с металлической частью провода длиной $L/2$
• $V_{\text{м}}$ – объём металла в проводе длиной $L$
• $V_{\text{ти}}$ – объём воды в трубке с проводом в изоляции длиной $L/2$
• $V_{\text{и вн}}$ – внешний объём изоляции
• $V_{\text{и}}$ – объём изоляции (внешний объём минус объём металла внутри).

Табл.2

Вычисляем плотности:

$\rho_{\text{м}} = \frac{m_{\text{м}}}{V_{\text{м}}} = \frac{12{,}44}{1{,}46} = 8{,}52$ г/см$^3$, что на 4% отличается от табличной плотности меди,

$\rho_{\text{и}} = \frac{m_{\text{и}}}{V_{\text{и}}} = \frac{2{,}14}{1{,}55} = 1{,}38$ г/см$^3$. Непосредственное измерение плотности изоляции с помощью гидростатического взвешивания даёт результат $\rho_{\text{и}}$ = 1, 33 г/см$^3$.

Критерии оценивания:

1. Определено отношение α массы металла к массе изоляции в проводе с точностью не хуже 10% посредством измерения плеч в двух различных положениях равновесия — 1 балл

   если отношение определено по результатам однократного измерения, то — 0,5 балла

2. Идея исследования зависимости длины плеч в положении равновесия от массы воды в шприце и описание введённых обозначений — 1 балл

3. Таблица результатов измерения зависимости длины плеч в положении равновесия от массы воды в шприце (указаны физические величины и единицы их измерения). Если нанесено не менее 5 точек, то — 2 балла

   если нанесены 2 или 3 точки, то — 1 балл

4. Записана формула исследованной зависимости — 1 балл

5. Выполнена линеаризации исследованной зависимости (введены новые переменные) — 1 балл

6. Построен график линейной зависимости — 2 балла

   • подписаны оси (величины и единицы измерения) — 0,5 балла
   • оформлен масштаб на осях — 0,5 балла
   • правильно нанесены экспериментальные точки — 0,5 балла
   • проведена прямая линия — 0,5 балла

7. Из графика определена масса металла (с точностью не хуже 10%) — 1 балл

8. Из графика определена масса изоляции (с точностью не хуже 10%) — 1 балл

   При вычислении масс металла и изоляции путём решения системы необходимого количества уравнений пункты 5 и 6 не оцениваются.

9. Измерение объёма металла с помощью гибкой трубки, шприца и воды с точностью не хуже 10% — 1 балл

10. Измерение объёма изоляции с помощью гибкой трубки, шприца и воды с точностью не хуже 10% — 2 балла

    Если объёмы определены с указанной точностью методом прокатывания, то пункты 9 и 10 засчитываются полным баллом.

11. Вычисление плотности металла с точностью не хуже 15 % — 1 балл

12. Вычисление плотности изоляции с точностью не хуже 15 % — 1 балл