Съдържание

ВсОШ 2021, Регионален етап, 10. клас, първи тур — Задача 1. Разгон паровоза

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2021

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Первый тур. 23 января 2021 г. · 23 януари 2021 г. · 15 т.

Условие

На трех фотоснимках одного участка местности, сделанных с равными интервалами времени $\tau$ , запечатлен игрушечный паровоз и фрагменты шлейфа дыма от него. Наложенные друг на друга фотографии приведены на рисунке.

Зная, что, тронувшись с места, паровоз поехал на север с постоянным ускорением $a = 0{,}4$ м/с $^2$ , и что в этот день дул западный ветер со скоростью $u = 4$ м/с, найдите интервал времени $\tau$ и на каком расстоянии от точки $O$ находилась труба неподвижного паровоза.

Цены делений шкал сетки по вертикали и горизонтали равны.

Клетчатая сетка с точкой O в левом нижнем углу; у левого края три положения паровоза, отмеченные I, II, III, от каждого вправо-вниз отходит изогнутый шлейф дыма, частично закрытый облаками; в правом верхнем углу роза ветров с буквами С, Ю, З, В.

Отговори

Решение

Возможное решение (М. Замятнин). Пусть цена деления шкалы расстояний равна $s$ . Далее возможны разные варианты рассуждений.

Вариант №1.

Обозначим скорость в конце первого участка (от начала движения до первого снимка) за $\upsilon_1$ , в конце второго (от первого снимка до второго) - $\upsilon_2$ и в конце третьего - $\upsilon_3$ . Так как снимки делались через равные промежутки времени $\tau$ , то $\upsilon_2 = \upsilon_1 + a\tau$ ; $\upsilon_3 = \upsilon_1 + 2a\tau$ .

Найдём средние скорости на втором и третьем участках. С одной стороны, их можно выразить как среднее арифметическое скоростей в начале и в конце участка, с другой – как отношение пройденного пути ко времени.

\begin{cases} \upsilon_{2\text{ср}} = \dfrac{\upsilon_1 + \upsilon_2}{2} = \upsilon_1 + \dfrac{1}{2}a\tau = \dfrac{6s}{\tau}; \\ \upsilon_{2\text{ср}} = \dfrac{\upsilon_2 + \upsilon_3}{2} = \upsilon_1 + \dfrac{3}{2}a\tau = \dfrac{10s}{\tau}. \end{cases}

Отсюда $a\tau = \dfrac{4s}{\tau}$ ; $\upsilon_1 = \dfrac{4s}{\tau}; \Rightarrow \upsilon_1 = a\tau$ . Это означает, что паровоз начал движение за $\tau$ секунд до того, как был сделан первый снимок. Тогда путь, пройденный им на первом участке, равен $\upsilon_{1\text{ср}}\tau = \dfrac{0 + \upsilon_1}{2}\tau = \dfrac{2s}{\tau}\tau = 2s$ . Значит паровоз начал движение из точки, расположенной на $3s$ выше точки $O$ .

Рассмотрим третий участок движения паровоза. $\upsilon_{3\text{ср}} = \upsilon_1 + \dfrac{3}{2}a\tau = \dfrac{5}{2}a\tau = \dfrac{10s}{\tau} \Rightarrow a\tau^2 = 4s.$

Из рисунка видно, что пока паровоз проезжал третий отрезок дым, выпущенный в самом конце второго отрезка, сдвинулся на восток на расстояние $8s = u\tau$ . Тогда $u\tau = 2a\tau^2; \Rightarrow \tau = \dfrac{u}{2a} = 5$ с.

Цена деления шкалы расстояний $s = \dfrac{a\tau^2}{4} = 2{,}5$ м, следовательно изначально паровоз находился на 7,5 метров севернее точки $O$ .

Вариант №2

Пусть $t_0$ – время движения паровоза от старта до момента выполнения первого снимка, а $s_0$ – его начальное расстояние от точки $O$ .

Тогда можем записать:

\begin{cases} 5s = s_0 + \dfrac{at_0^2}{2}; \\ 11s = s_0 + \dfrac{a(t_0 + \tau)^2}{2}; \\ 21s = s_0 + \dfrac{a(t_0 + 2\tau)^2}{2}. \end{cases}

Вычтем из третьего уравнение второе, а из второго первое.

\begin{cases} 10s = \dfrac{a(t_0 + 2\tau)^2}{2} - \dfrac{a(t_0 + \tau)^2}{2}; \\ 6s = \dfrac{a(t_0 + \tau)^2}{2} - \dfrac{at_0^2}{2}. \end{cases}

Поделим верхнее уравнение на нижнее

\frac{5}{3} = \frac{(t_0 + 2\tau)^2 - (t_0 + \tau)^2}{(t_0 + \tau)^2 - t_0^2} = \frac{3\tau^2 + 2t_0\tau}{\tau^2 + 2t_0\tau}.

Получаем $t_0 = \tau$ , тогда $6s = \dfrac{3}{2}a\tau^2; \Rightarrow \dfrac{a\tau^2}{2} = 2s.$

Подставим в уравнение $5s = s_0 + \dfrac{at_0^2}{2} = s_0 + 2s; \Rightarrow s_0 = 3s$ . Значит паровоз начал движение из точки, расположенной на $3s$ выше точки $O$ .

Рассмотрим третий отрезок движения паровоза.

10s = \frac{a(t_0 + 2\tau)^2}{2} - \frac{a(t_0 + \tau)^2}{2} = \frac{5}{2}a\tau^2; \Rightarrow a\tau^2 = 4s.

Найдём $s = \dfrac{a\tau^2}{4} = 2{,}5$ м, следовательно изначально паровоз находился на 7,5 метров севернее точки $O$ .

Возможны и другие варианты решений.

№	Задача 1.10.1. Критерии оценивания (15 баллов)	Баллы
1	Записаны верные уравнения, связывающие перемещения паровоза или средние скорости для 2 и 3 участков, либо аналогичные.	1+1
2	Показано, что время от начала движения до первого снимка равно $\tau$ (в явном виде может не присутствовать, но если следует из промежуточных выкладок, то балл ставится)	1
3	Найдена точка старта ( $3s$ )	3
4	Верно записана связь между перемещением паровоза и соответствующим ему перемещением дыма. (Если использовались неудобные точки, координаты которых невозможно точно определить, то за пункт ставится только половина баллов)	3
5	Получено верное значение $\tau = 5$ с (формула + число)	2+1
6	Получено верное значение расстояния 7,5 м от точки старта до точки $O$ (формула + число). В качестве формулы может быть засчитана верная формула для размера $s$ одной клеточки	2+1

Оригинал в Архива: tasks-phys-10-tur1-reg-20-21.pdf · официални решения: sol-phys-10-tur1-reg-20-21.pdf