ВсОШ 2021, Регионален етап, 10. клас, втори тур — Задача 1. Жёлоб

• $t=\sqrt{\dfrac{2}{g}\,\dfrac{(2r^2-R^2)}{(r+R)}}$

Возможное решение (А. Уймин). Найдём геометрическое место точек в которых шарик может оказаться в момент времени $t$. Пусть $\alpha$ – угол, который составляет желоб с горизонтом. Из второго закона Ньютона ускорение шарика будет равно $a = g\sin\alpha$.

Пройденное шариком расстояние $s=\dfrac{at^2}{2}=\dfrac{g\sin\alpha\cdot t^2}{2}$. Отсюда следует, что $\dfrac{s}{\sin\alpha}=\dfrac{g\cdot t^2}{2}$.

То есть для всех точек, в которых может оказаться шарик спустя время $t$, величина $s/\sin\alpha$ будет одинаковой.

Покажем, что все эти точки лежат на окружности, центр которой лежит строго под точкой $A$, а сама окружность проходит через точку $A$.

Построим такую окружность для одного из возможных положений желоба. Из геометрии $\angle AB_1C_1 = 90^{\circ}$ (как вписанный, опирающийся на диаметр), тогда $\angle B_1C_1A=\alpha$, и $AC_1=\dfrac{s}{\sin\alpha}=\dfrac{g\cdot t^2}{2}=2r_1$, где $r_1$ – радиус нарисованной нами окружности. Получается, что радиус такой окружности не зависит от угла наклона жёлоба.

В таком случае, время спуска шарика будет минимальным, когда нарисованная нами окружность коснётся дуги радиуса $R$.

Выразим расстояние $OO_1$ двумя способами.

откуда $r_1=\dfrac{2r^2-R^2}{2(r+R)}$.

Ранее мы показали, что $r_1=\dfrac{g\cdot t^2}{4}$, значит $t=\sqrt{\dfrac{4r_1}{g}}=\sqrt{\dfrac{2}{g}\,\dfrac{(2r^2-R^2)}{(r+R)}}$.