Съдържание

ВсОШ 2021, Регионален етап, 11. клас, първи тур — Задача 1. Переправа

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2021

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Первый тур. 23 января 2021 г. · 23 януари 2021 г. · 12 т.

Условие

Лодка переплывает реку по прямой, перпендикулярной берегам. Её скорость относительно воды равна $\upsilon_0$ . До середины реки скорость течения изменяется по закону $u = \alpha x$ от нуля до $\upsilon_0/2$ – скорости воды на середине реки, где $\alpha$ – известный коэффициент, $x$ – расстояние от берега. После середины реки скорость уменьшается до нуля у другого берега по тому же закону.

Определите зависимость от времени угла между вектором скорости лодки относительно воды и направлением движения относительно берега. Через какое время лодка окажется на другом берегу?

Отговори

Решение

Возможное решение (А. Уймин).
(способ 1)

Два треугольника скоростей. Слева: вертикальный катет υ, горизонтальный катет αx (стрелка влево), гипотенуза υ₀, угол φ между υ и υ₀. Справа: тот же треугольник и повёрнутый на dφ вектор υ₀; отмечены φ, dφ и приращение αdx штриховыми линиями.

В треугольнике скоростей скорость течения $u = \alpha x$ , скорость лодки относительно берега $\upsilon = dx/dt$ , а её скорость $\upsilon_0$ относительно воды направлена под углом $\varphi$ с нормалью к берегу. Тогда $\upsilon = \upsilon_0\cos\varphi$ .

За малое время $dt$ лодка перемещается в направлении противоположного берега на расстояние $dx$ , а направление вектора скорости лодки изменяется на угол $d\varphi$ . При этом

\alpha dx = \alpha\upsilon dt = \alpha\upsilon_0\cos\varphi dt. \qquad (1)

Выразим отрезок $\alpha dx$ через длину дуги с углом $d\varphi$ окружности радиуса $\upsilon_0$

\alpha dx = \upsilon_0 d\varphi\cos\varphi. \qquad (2)

Из (1) и (2) получаем, что $d\varphi = \alpha dt$ или $\varphi = \alpha t$ . Вектор относительной скорости поворачивается с постоянной угловой скоростью!

На середине реки $u = \upsilon_0/2$ , и тогда $\varphi = \pi/6$ , а время $t = \pi/(6\alpha)$ .

От этой середины до другого берега вектор относительной скорости поворачивается с той же угловой скоростью, но в противоположную сторону. Из симметрии полное время $T = 2t = \pi/(3\alpha)$ .

№	Задача 1.11.1. Критерий (12 баллов)	Баллы
1	Треугольник скоростей с углом поворота	1
2	Приращение скорости течения за $dt$ (уравнение 1)	1
3	Приращение скорости течения через $d\varphi$ (уравнение 2)	3
4	Нахождение угловой скорости ( $d\varphi/dt = \alpha$ или $\varphi = \alpha t$ )	2,5
5	Нахождение $\varphi = \pi/6$ на середине реки	1
6	Нахождение времени плавания до середины реки	2,5
7	«Симметрия» второй половины и ответ $T = \pi/(3\alpha)$ .	1

Решение (способ 2).

Построим треугольник скоростей для лодки (см. рисунок выше). Из теоремы Пифагора

\upsilon_x^2 + \left(\alpha x\right)^2 = \upsilon_0^2.

После дифференцирования по времени получим: $2a_x\upsilon_x + 2\alpha^2 x\upsilon_x = 0.$

$a_x = -\alpha^2 x$ – уравнение гармонических колебаний.

Из начальных условий $(x = 0;\ \upsilon_x = \upsilon_0)$ находим решение

\upsilon_x = \upsilon_0\cos\left(\alpha t\right).

Также из треугольника скоростей видим, что $\upsilon_x = \upsilon_0\cos\varphi$ , откуда $\varphi = \alpha t.$

В момент достижения середины реки $\upsilon_x = \upsilon_0\sqrt{3}/2,\ t = \pi/(6\alpha).$ Общее время движения $T = 2t = \pi/(3\alpha).$

№	Задача 1.11.1. Критерии оценивания (12 баллов)	Баллы
1	Треугольник скоростей с углом поворота	1
2	Доказано, что движение гармоническое	2,5
3	Из начальных условий определена зависимость $\upsilon_x(t)$	2,5
4	Найдена зависимость $\varphi = \alpha t$	2,5
5	Нахождение времени плавания до середины реки	2,5
6	«Симметрия» второй половины и ответ $T = \pi/(3\alpha)$ .	1

Решение (способ 3).

Из теоремы Пифагора следует

\upsilon_x^2 + \left(\alpha x\right)^2 = \upsilon_0^2.

Отсюда скорость лодки

\upsilon_x = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\upsilon_0^2 - \left(\alpha x\right)^2},\ \text{а время}\ dt = \frac{dx}{\upsilon_x} = \frac{dx}{\sqrt{\upsilon_0^2 - \left(\alpha x\right)^2}}.

Время, которое необходимо для преодоления некоторого расстояния $x_1$ ,

t_1 = \int_0^{x_1}\frac{dx}{\sqrt{\upsilon_0^2 - \left(\alpha x\right)^2}} = \frac{1}{\alpha}\arcsin\left(\frac{\alpha x_1}{\upsilon_0}\right).

В частности, при $x = \upsilon_0/(2\alpha)$ (середина реки), время $t = \pi/(6\alpha).$ Общее время движения $T = \pi/(3\alpha).$

Для определения искомого угла заметим, что из треугольника скоростей $\sin\varphi = \alpha x/\upsilon_0,$ откуда $\varphi = \alpha t$ .

№	Задача 1.11.1. Критерии оценивания (12 баллов)	Баллы
1	Треугольник скоростей с углом поворота	1
2	Найдена связь между временем и координатой $t_1 = \left(1/\alpha\right)\arcsin\left(\alpha x_1/\upsilon_0\right)$	5
3	Найдена зависимость $\varphi = \alpha t$	2,5
4	Нахождение времени плавания до середины реки	2,5
5	«Симметрия» второй половины и ответ $T = \pi/(3\alpha)$ .	1

Оригинал в Архива: tasks-phys-11-tur1-reg-20-21.pdf · официални решения: sol-phys-11-tur1-reg-20-21.pdf