ВсОШ 2021, Регионален етап, 11. клас, втори тур — Задача 1. Разгон при отключённом источнике

• $K = qU - \frac{q^2}{2C}$

  Энергия максимальна при $q = CU$, тогда $K = CU^2/2$.

Возможное решение. (И. Воробьев).

1. Вначале на внутренней поверхности левой полости имеется экранирующий заряд $-q$, что даёт нуль в сумме с зарядом шарика. На внутренней поверхности правой полости заряда нет.

2. После подключения источника, полный заряд системы остается равным нулю. Заряды на внешних поверхностях оболочек противоположные по знаку, а так как оболочки образуют конденсатор ёмкостью $C$, то эти заряды равны $Q_o = CU$ и $-Q_o$.

3. После перемещения шарика в центр правой оболочки к заряду $Q_o = CU$ левой оболочки добавится заряд $-q$ с её внутренней поверхности, а к заряду $-Q_o$ правой оболочки добавится заряд $q$ из-за ухода заряда $-q$ на поверхность полости правой оболочки (для экранировки заряда шарика). Таким образом, заряды на внешних поверхностях станут равными $Q$ и $-Q$, где $Q = CU - q$. Напряжение на конденсаторе при этом станет равным $V = U - q/C$.

4. Ввиду такого же, как в левом цилиндре, расположения заряда $q$ справа, энергия его взаимодействия с «экранирующими» зарядами на внутренней поверхности цилиндра не изменится.

5. Изменяется только кинетическая энергия шарика и энергия конденсатора. Тогда при отсутствии потерь энергии $CU^2/2 = CV^2/2 + K$, где $K$ - кинетическая энергия шарика в центре правой оболочки. $K = qU - q^2/2C$.

6. Наибольшая кинетическая энергия отвечает случаю $V = U - q/C = 0$, тогда $q = CU$, а $K = CU^2/2$.

Примечание: При $q$, много меньшем $CU$, $K \cong qU$. В общем случае нужно учесть наведённые заряды и связанное с этим изменение напряжения между электродами. Важно понять, что потенциальная энергия системы складывается из энергии взаимодействия заряда с «экранирующими» зарядами на внутренней поверхности цилиндра и энергии конденсатора.