Съдържание

ВсОШ 2021, Регионален етап, 9. клас, втори тур — Задача 1. Испытания автомобилей

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2021

LV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Первый тур. 23 января 2021 г. · 10 т.

Условие

Автомобиль должен проехать с постоянным ускорением прямой участок длиной $L$ от линии старта $AB$ до линии $CD$ и, после её пересечения, развернувшись по дуге окружности на $180^{0}$ , пересечь эту линию в обратном направлении (см. рис.). Начальная скорость автомобиля равна нулю, а на закругленном участке постоянна и равна скорости, достигнутой при разгоне по прямой. Ускорение автомобиля во время всего движения не должно превышать $a_{\max}$ .

Схема трассы: пунктирная линия старта AB внизу с автомобилем у точки A, вертикальная стрелка от A вверх к точке C на пунктирной линии CD, двусторонняя стрелка длины L между линиями, полуокружность со стрелкой от C к D.

Во сколько раз время $t_1$ движения автомобиля от $A$ до $D$ при разгоне на участке $AC$ с ускорением $a_{\max}$ , превышает минимально возможное время $t_2$ движения от $A$ до $D$ ?

Отговори

Решение

Возможное решение (С. Кармазин). Пусть разгон происходит с ускорением $a$ . Тогда время движения на участке $AC$ равно $\tau_1 = \sqrt{2L/a}$ , а достигнутая при этом скорость $u_1 = \sqrt{2La}$ . Минимально возможный радиус закругления определяется максимально возможным ускорением и равен $R_{\min} = u_1^2/a_{\max} = 2La/a_{\max}$ . Время движения автомобиля на закруглении $\tau_2 = \pi R_{\min}/u_1 = \pi\sqrt{2La}/a_{\max}$ . Общее время

t_1 = \tau_1 + \tau_2 = \sqrt{\frac{2L}{a}} + \frac{\pi}{a_{\max}}\sqrt{2La} = \sqrt{\frac{2\pi L}{a_{\max}}}\left(\sqrt{\frac{a_{\max}}{\pi a}} + \sqrt{\frac{\pi a}{a_{\max}}}\right). \qquad (1)

Выражение в скобках принимает минимальное значение равное 2 при $\sqrt{a_{\max}/(\pi a)} = 1$ (неравенство Коши). Таким образом минимально возможное время

t_2 = 2\sqrt{2\pi L/a_{\max}} = 2\sqrt{2\pi}\sqrt{L/a_{\max}}. \qquad (2)

и достигается при $a_1 = a_{\max}/\pi$ , что не противоречит условию $a_1 < a_{\max}$ .

Если не пользоваться неравенством Коши, то следует либо взять производную по $a$ , либо приравнять выражение в скобках из (1) к некоторой переменной $y = \sqrt{a_{\max}/(\pi a)} + \sqrt{\pi a/a_{\max}}$ , возвести это уравнение в квадрат и решать полученное квадратное уравнение относительно $a$ . Дискриминант этого уравнения окажется равным нулю при $y = 2$ и отрицательным при $y < 2$ . Следовательно, $y = 2$ – это минимально возможное значение для $y$ , и при этом $a_1 = a_{\max}/\pi$ .

При разгоне с максимально возможным ускорением $a = a_{\max}$ время испытания (выражение (1)) равно

$t_1 = \tau_1 + \tau_2 = \sqrt{\dfrac{2\pi L}{a_{\max}}}\left(\sqrt{\dfrac{1}{\pi}} + \sqrt{\pi}\right) = \sqrt{\dfrac{2L}{a_{\max}}}\left(1+\pi\right)$ . Окончательно, $n = \dfrac{t_1}{t_2} = \dfrac{1+\pi}{2\sqrt{\pi}} \approx 1{,}17$ .

№	Задача 2.9.1. Критерии оценивания (10 баллов)	Баллы
1	Указано, что минимальный радиус закругления при разгоне $R_{\min} = 2La/a_{\max}$	2
2	Найдено время движения на участке $AC$ : $\tau_1 = \sqrt{2L/a}$	1
3	Найдено время движения на закруглении: $\tau_2 = \pi\sqrt{2La}/a_{\max}$	1
4	Найдено минимально возможное время испытания $t_2$ (любым способом)	3
	Если идея нахождения минимума не реализована, то за пункт 4 больше 1 балла не ставить
5	Найдено время испытания $t_1$ при разгоне с максимально возможным ускорением	2
6	Получен ответ задачи: $n \approx 1{,}17$	1

Оригинал в Архива: tasks-phys-9-tur2-reg-20-21.pdf · официални решения: sol-phys-9-tur2-reg-20-21.pdf