Съдържание

ВсОШ 2021, Муниципален етап, 7–11 клас — Задача 10. 9 класс. 2. R-звезда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ, папка 2022

Всероссийская олимпиада школьников по физике. Муниципальный этап. 06.12.2021 г. · 6 декември 2021 г. · 10 т.

Условие

Определите эквивалентное сопротивление проволочной сетки, изображённой на рисунке. Сопротивление каждого отрезка (вне зависимости от длины) равно $R$ .

Проволочная сетка в форме восьмиконечной звезды: центральный квадрат, на каждой стороне которого построен треугольник из двух отрезков, пересекающихся в узле; концы треугольников соединены с вершинами квадрата. Точки подключения — две нижние вершины квадрата (обозначены волнистыми выводами).

Отговори

Решение

Выделенный фрагмент сетки: квадрат с диагоналями, пересекающимися в центральном узле, верхняя сторона отсутствует; выводы — две нижние вершины (волнистые линии).

Возможное решение:

Способ 1

Рассмотрим отдельный фрагмент проволочной сетки:

Изобразим эквивалентную схему этого участка:

Применяя формулы последовательного и параллельного соединений, найдем общее сопротивление $R_1$ выделенного участка:

$\mathrm{R}_1 = \frac{4}{7}\mathrm{R}$ .

Эквивалентная схема фрагмента: два одинаковых звена, каждое из двух последовательных резисторов R, параллельных третьему резистору R; звенья соединены последовательно, и вся цепочка шунтирована резистором R; выводы по краям.

Можно заметить, что всю сетку можно преобразовать к виду:

Эквивалентная схема всей сетки: три последовательных резистора 4/7 R, параллельно которым включён резистор 4/7 R; выводы по краям.

Применяя формулы последовательного и параллельного соединений, найдем эквивалентное сопротивление все проволочной сетки:

\mathrm{R}_{э} = \frac{3}{7}\mathrm{R} \approx 0{,}43\mathrm{R}.

Критерии оценивания 1.

№	критерий	баллы
1.	Изображение эквивалентной схемы для фрагмента	3
2.	Общее сопротивление выделенного фрагмента	2
3.	Эквивалентная схема для всей цепи	2
4.	Эквивалентное сопротивление всей цепи	3
итого:		10

Способ 2

Расставим токи в цепи с учетом симметрии и первого правила Кирхгофа.

Сетка-звезда с расставленными токами: по внешним отрезкам I, по отрезкам треугольников 2I, по сторонам квадрата 4I, по нижней стороне квадрата от узла A к узлу B ток 12I; в нижнем треугольнике токи 3I и 6I; A и B — узлы подключения (волнистые выводы).

Общий ток $I_0$ в цепи равен: $I_0 = 28I$ ; $\varphi_{\mathrm{A}} - \varphi_{\mathrm{B}} = 12\mathrm{IR}$ .

Эквивалентное сопротивление $R_{\text{э}}$ вычисли с помощью закона Ома:

\mathrm{R}_{э} = \frac{\varphi_{\mathrm{A}} - \varphi_{\mathrm{B}}}{\mathrm{I}_{о}} = \frac{12\mathrm{IR}}{28\mathrm{I}} = \frac{3}{7}\mathrm{R} \approx 0{,}43\mathrm{R}.

Критерии оценивания 2.

№	критерий	баллы
1.	Расставлены токи во всех участках цепи	3
2.	Пояснения для каждого соотношения токов	2
3.	Найден общий ток	1
4.	Найдена разность потенциалов между узлами $A$ и $B$	1
5.	Найдено эквивалентное сопротивление	3
итого:		10

Оригинал в Архива: VsOSh_2022_MUN_T.pdf