Съдържание

ВсОШ 2021, Муниципален етап, 7–11 клас — Задача 11. 9 класс. 3. Куб

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ, папка 2022

Всероссийская олимпиада школьников по физике. Муниципальный этап. 06.12.2021 г. · 6 декември 2021 г. · 10 т.

Условие

Сосуд представляет собой куб с длиной ребра $a$ . Его внутренняя полость также имеет форму куба с длиной ребра 3 $a$ /5. Толщина всех стенок одинакова. Плотность материала сосуда 3 $\rho$ . На уровне дна полости и в её потолке имеются сквозные отверстия малого диаметра. Нижнее отверстие закрыто пробкой. Куб заполнили водой плотностью $\rho$ , поместили в цилиндр с площадью шероховатого дна 3 $a^2$ и вынули пробку из отверстия. Во сколько раз отличаются силы давления сосуда на дно цилиндра до извлечения пробки и после прекращения вытекания жидкости?

Сечение кубического сосуда с ребром a (размер указан стрелкой внизу): внутри кубическая полость, заполненная водой; в потолке полости узкий канал к верхней грани, у дна полости горизонтальный канал в правой стенке, закрытый пробкой (тёмный прямоугольник).

Отговори

Решение

Возможное решение:

Тот же сосуд-куб с ребром a, дополненный размерами: толщина стенки 1/5 a (указана сверху слева по горизонтали и справа по вертикали у верхней стенки); полость с водой, верхний канал и нижнее отверстие с пробкой справа.

Возможны два сценария развития событий. Либо вода полностью выльется из полости и ее уровень окажется ниже отверстия в стенке сосуда, либо уровень воды окажется выше уровня отверстия и, следовательно, в полости останется некоторое количество воды. Второй случай сложнее для вычислений. Проверим сначала первый вариант. Используем равенство начального объема воды и объема воды, вылившейся в стакан.

$\frac{27}{125}a^3 = (3a^2 - a^2)h$ , где $h$ – искомая высота уровня воды. После вычислений получаем:

\frac{27}{125}a^3 = 2a^2h, \qquad h = \frac{27}{250}a

Это меньше толщины стенки сосуда d, которая в нашем случае равна $d = \frac{a - \frac{3}{5}a}{2} = \frac{1}{5}a$ . Значит, реализуется первый вариант, когда воды в полости сосуда не остается, а уровень воды в стакане $h = \frac{27}{250}a$ .

Сила давления сосуда на дно стакана до открытия отверстия $F_1$ определяется массой самого сосуда и массой заполняющей его воды

F_1 = \left(a^3 - \frac{27}{125}a^3\right)3\rho g + \frac{27}{125}a^3\rho g = \frac{321}{125}a^3\rho g

Сила давления сосуда во втором случае $F_2$ определяется массой самого сосуда минус сила Архимеда, действующая на него

F_2 = \left(a^3 - \frac{27}{125}a^3\right)3\rho g - a^2\frac{27}{250}a\rho g = \frac{561}{250}a^3\rho g

Найдем отношение $\frac{F_1}{F_2} = \frac{321}{125} \cdot \frac{250}{561} = \frac{642}{561} = \frac{214}{187} \approx 1{,}14$

Критерии оценивания.

№	критерий	баллы
1.	Проверка реализации первого сценария (в сосуде не остается воды)	1
2.	Правильно записан объем воды до выливания	1
3.	Правильно записан объем воды после выливания	1
4.	Получен уровень воды в сосуде после вынимания пробки	1
5.	Вычисление силы давления $F_1$ (до открытия отверстия) (Если использована правильная формула для вычисления, но из-за арифметических ошибок, результат не верный, то 1 балл)	2
6.	Вычисление силы давления $F_2$ (после открытия отверстия) (Если использована правильная формула для вычисления, но из-за арифметических ошибок, результат не верный, то 1 балл)	3
7.	Получено правильное отношение $\frac{F_1}{F_2}$	1
итого:		10

Оригинал в Архива: VsOSh_2022_MUN_T.pdf