Съдържание

ВсОШ 2021, Муниципален етап, 7–11 клас — Задача 14. 10 класс. 1. Прыг-скок

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ, папка 2022

Всероссийская олимпиада школьников по физике. Муниципальный этап. 06.12.2021 г. · 6 декември 2021 г. · 10 т.

Условие

С некоторой высоты над горизонтальной поверхностью пола с нулевой начальной скоростью отпустили теннисный мяч. Известно, что при каждом ударе кинетическая энергия уменьшалась на 19 % (от значения до удара). Движение мяча прекратилось через время $\tau$ = 7 с. Определите скорость $\upsilon_2$ мяча сразу после второго удара. Ускорение свободного падения $g$ = 10 м/с $^2$ . Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Отговори

Решение

Возможное решение:

По условию после каждого удара энергия системы уменьшается: $W_{n+1} = 0{,}81 \cdot W_n$ , а скорость $\upsilon_{n+1} = \sqrt{0{,}81} \cdot \upsilon_n = 0{,}9 \cdot \upsilon_n$ . Значит относительная доля потери скорости равна $\alpha = 0{,}1$ . Если начальная высота мяча была равна $h$ , то скорость после $n$ -го удара будет равна: $\upsilon_n = \sqrt{2g \cdot h} \cdot (1 - \alpha)^n$ .

Время до первого удара $t_0 = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}$ , а время между $n$ -м и $n$ +1-м соударениями $t_n = \frac{2 \cdot \upsilon_n}{g} = 2 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}} \cdot (1 - \alpha)^n$ .

Тогда соударения шарика со столом прекратятся через время, равное:

\tau = t_0 + \sum_{n=1}^{\infty} t_n = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}} \cdot \left(1 + 2 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} (1 - \alpha)^n\right) = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}} \cdot \left(\frac{2 - \alpha}{\alpha}\right).

С учётом этого искомая скорость мяча $\upsilon_2$ сразу после второго удара:

\upsilon_2 = \sqrt{2g \cdot h} \cdot (1 - \alpha)^2 = \frac{\alpha(1 - \alpha)^2}{2 - \alpha}g\tau \approx 3{,}0\ \frac{\text{м}}{\text{с}}.

Ответ:

\upsilon_2 = \sqrt{2g \cdot h} \cdot (1 - \alpha)^2 = \frac{\alpha(1 - \alpha)^2}{2 - \alpha}g\tau \approx 3{,}0\ \frac{\text{м}}{\text{с}}.

Критерии оценивания.

№	критерий	баллы
1.	Записан закон изменения полной энергии после удара	1
2.	Записан закон изменения максимальной скорости после удара	1
3.	Получено время первого падения	1
4.	Получено время $n$ -го прыжка	1
5.	Установлена связь полного времени движения с начальной высотой или скоростью первого удара	3
6.	Установлена связь скорости $\upsilon_2$ с начальной высотой или скоростью первого удара	1
7.	Установлена связь скорости $\upsilon_2$ и полного времени движения	1
8.	Получен численный ответ	1
итого:		10

Оригинал в Архива: VsOSh_2022_MUN_T.pdf