Съдържание

ВсОШ 2021, Муниципален етап, 7–11 клас — Задача 16. 10 класс. 3. В лунке

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ, папка 2022

Всероссийская олимпиада школьников по физике. Муниципальный этап. 06.12.2021 г. · 6 декември 2021 г. · 10 т.

Условие

В бруске, находящемся на горизонтальной поверхности, сделано гладкое сферическое углубление радиусом $R$ . В углублении лежит маленькая шайба массы $m$ . К бруску прикладывают горизонтальную силу $F$ , плавно увеличивая её значение от 0 до $F_0$ . Найдите максимальную высоту, на которую поднимется шайба, если масса бруска 2 $m$ . Ускорение свободного падения $g$ . Трением в системе можно пренебречь.

Брусок массой 2m на горизонтальной поверхности с полусферическим углублением радиуса R; на дне углубления лежит шайба m. К бруску приложена горизонтальная сила F, направленная вправо; слева стрелка вектора g вниз.

Отговори

Решение

Возможное решение:

При плавном, без сильных рывков, увеличении внешней силы шайба будет постепенно подниматься в лунке, что бы горизонтальная компонента силы реакции со стороны бруска обеспечивала одинаковое с бруском ускорение. Значит максимальный подъём будет при достижении силой значения $F_0$ .

Применим 2й закон Ньютона (в проекции на горизонтальную ось) ко всей системе и найдём ускорение поступательного движения тел:

3ma = F_0 \Rightarrow a = \frac{F_0}{3m}

Брусок со сферической лункой на горизонтальной поверхности; шайба поднялась по стенке лунки: на неё действуют сила тяжести mg (вниз) и сила реакции N (к центру лунки), отклонение от вертикали — угол α; над лункой стрелка ускорения a вправо. Справа — векторный треугольник сил: mg вниз, ma горизонтально, N — гипотенуза, угол α между mg и N.

Запишем 2й закон Ньютона для шайбы в момент наивысшего подъёма:

m\vec{a} = \vec{N} + m\vec{g}

Далее можно либо через проекции, либо используя векторный треугольник сил связать угол $\alpha$ и $F_0$ :

\mathrm{tg}\alpha = \frac{ma}{mg} = \frac{a}{g} = \frac{F_0}{3mg}

Брусок с лункой: радиус R, проведённый к шайбе под углом α к вертикали; по вертикали отмечены отрезок Rcosα и высота подъёма h от дна лунки.

Высота подъёма $h$ связана с радиусом лунки $R$ и углом $\alpha$ :

h = R(1 - \cos\alpha)

Осталось связать высоту и силу:

h = R(1 - \cos\alpha) = R\left(1 - \frac{1}{\sqrt{1 + \mathrm{tg}^2\alpha}}\right) = R\left(1 - \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{F_0}{3mg})^2}}\right) = R\left(1 - \frac{3mg}{\sqrt{F_0^2 + (3mg)^2}}\right)

Критерии оценивания.

№	критерий	баллы
1.	Указано, что максимальный подъём соответствует $F_0$	1
2.	Указано, что у бруска и шайбы одинаковое ускорение (они неподвижны друг относительно друга)	1
3.	Найдено ускорение $a$	1
4.	Угол отклонения (любая его тригонометрическая функция) выражен через $F_0$	2
5.	Высота $h$ связана с углом отклонения	2
6.	$h$ выражен через $F_0$	3
итого:		10

Оригинал в Архива: VsOSh_2022_MUN_T.pdf