Съдържание

ВсОШ 2021, Муниципален етап, 7–11 клас — Задача 17. 10 класс. 4. Гидростатика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ, папка 2022

Всероссийская олимпиада школьников по физике. Муниципальный этап. 06.12.2021 г. · 6 декември 2021 г. · 10 т.

Условие

Сосуд представляет собой куб с длиной ребра $a$ . Внутренняя полость сосуда также имеет форму куба с длиной ребра $4a/5$ . Толщина всех стенок сосуда одинакова. Плотность материала, из которого изготовлен сосуд, 3 $\rho$ . На уровне дна полости и в её потолке имеются сквозные отверстия малого диаметра. Сосуд заполнен водой (плотность воды $\rho$ ). Нижнее отверстие закрыто пробкой. Сосуд помещают в пустой цилиндр с площадью дна 3 $a^2$ . Стык между сосудом и дном цилиндра герметизируют, чтобы вода под сосуд не подтекала. При этом воздух между неровностями сосуда и дном цилиндра остаётся при атмосферном давлении. Затем вынимают пробку из отверстия куба. Во сколько раз отличаются силы давления сосуда на дно цилиндра до извлечения пробки и после прекращения вытекания жидкости?

Сечение кубического сосуда с ребром a (размер указан стрелкой внизу): внутри кубическая полость с водой, узкий канал из потолка полости к верхней грани и нижнее отверстие в правой стенке у дна полости, закрытое пробкой.

Отговори

Решение

Возможное решение:

Возможны два сценария развития событий. Либо вода полностью выльется из полости и ее уровень окажется ниже отверстия в стенке сосуда, либо уровень воды окажется выше уровня отверстия и, следовательно, в полости останется некоторое количество воды. Второй случай сложнее для вычислений. Проверим сначала первый вариант. Используем равенство начального объема воды и объема воды, вылившейся в стакан.

$\frac{64}{125}a^3 = (3a^2 - a^2)h$ , где $h$ – искомая высота уровня воды. После вычислений получаем:

\frac{64}{125}a^3 = 2a^2h, \qquad h = \frac{64}{250}a

Это больше толщины стенки сосуда d, которая в нашем случае равна $d = \frac{a - \frac{4}{5}a}{2} = \frac{1}{10}a$ . Значит, реализуется второй вариант, когда часть воды останется в полости сосуда. Запишем условие равенства объемов воды для второго случая:

\frac{64}{125}a^3 = (3a^2 - a^2)h + \frac{16}{25}a^2(h - \frac{a - \frac{4}{5}a}{2})

\frac{64}{125}a^3 = 2a^2h + \frac{16}{25}a^2h - \frac{16}{250}a^3

\frac{144}{250}a^3 = \frac{66}{25}a^2h

h = \frac{12}{55}a

Таким образом, вода установится на высоте $h = \frac{12}{55}a$ от дна стакана, а в сосуде ее высота окажется равной $h_1 = h - \frac{a - \frac{4}{5}a}{2} = \frac{12}{55}a - \frac{1}{10}a = \frac{13}{110}a$

Сила давления сосуда в первом случае $F_1$ определяется массой самого сосуда и массой заполняющей его воды

F_1 = \left(a^3 - \frac{64}{125}a^3\right)3\rho g + \frac{64}{125}a^3\rho g = \frac{247}{125}a^3\rho g

После вынимания пробки часть воды выльется в стакан. Сила Архимеда в данной задаче не возникает, так вода под сосуд не подтекает. Следовательно, сила давления сосуда во втором случае $F_2$ определяется массой самого сосуда и массой, оставшейся в нем воды (силой давления оставшейся в полости воды на ее дно)

F_2 = \left(a^3 - \frac{64}{125}a^3\right)3\rho g + \frac{13}{110}a\frac{16}{25}a^2\rho g = \frac{2117}{1375}a^3\rho g

Найдем отношение $\frac{F_1}{F_2} = \frac{247}{125} \cdot \frac{1375}{2117} = \frac{2717}{2117} \approx 1{,}3$

Критерии оценивания.

№	критерий	баллы
1.	Проверка реализации второго сценария (в сосуде остается вода)	0,5
2.	Правильно записан объем воды до выливания	0,5
3.	Правильно записан объем воды после выливания	1
4.	Получен уровень воды в сосуде после вынимания пробки	2
5.	Вычисление силы давления $F_1$ (до открытия отверстия) (Если использована правильная формула для вычисления, но из-за арифметических ошибок, результат не верный, то 1 балл)	2
6.	Вычисление силы давления $F_2$ ( после открытия отверстия) (Если использована правильная формула для вычисления, но из-за арифметических ошибок, результат не верный, то 1 балл)	3
7.	Получено правильное отношение $\frac{F_1}{F_2}$	1
итого:		10

Оригинал в Архива: VsOSh_2022_MUN_T.pdf