Съдържание

ВсОШ 2021, Муниципален етап, 7–11 клас — Задача 19. 11 класс. 1. Куб

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ, папка 2022

Всероссийская олимпиада школьников по физике. Муниципальный этап. 06.12.2021 г. · 6 декември 2021 г. · 10 т.

Условие

Сосуд представляет собой куб с длиной ребра $a$ . Внутренняя полость сосуда также имеет форму куба с длиной ребра $4a/5$ . Толщина всех стенок сосуда одинакова. Плотность материала, из которого изготовлен сосуд, 3 $\rho$ . На уровне дна полости и в её потолке имеются сквозные отверстия малого диаметра. Сосуд заполнен водой (плотность воды $\rho$ ). Нижнее отверстие закрыто пробкой. Сосуд помещают в пустой цилиндр с площадью шероховатого дна 3 $a^2$ . Затем вынимают пробку из отверстия куба. Во сколько раз отличаются силы давления сосуда на дно цилиндра до извлечения пробки и после прекращения вытекания жидкости?

Сечение кубического сосуда с ребром a (размер указан стрелкой внизу): внутри кубическая полость с водой, узкий канал из потолка полости к верхней грани и нижнее отверстие в правой стенке у дна полости, закрытое пробкой.

Отговори

Решение

Возможное решение:

Возможны два сценария развития событий. Либо вода полностью выльется из полости и ее уровень окажется ниже отверстия в стенке сосуда, либо уровень воды окажется выше уровня отверстия и, следовательно, в полости останется некоторое количество воды. Второй случай сложнее для вычислений. Проверим сначала первый вариант. Используем равенство начального объема воды и объема воды, вылившейся в стакан.

$\frac{64}{125}a^3 = (3a^2 - a^2)h$ , где $h$ – искомая высота уровня воды. После вычислений получаем:

\frac{64}{125}a^3 = 2a^2h, \qquad h = \frac{64}{250}a

Это больше толщины стенки сосуда d, которая в нашем случае равна $d = \frac{a - \frac{4}{5}a}{2} = \frac{1}{10}a$ . Значит, реализуется второй вариант, когда часть воды останется в полости сосуда. Запишем условие равенства объемов воды для второго случая:

\frac{64}{125}a^3 = (3a^2 - a^2)h + \frac{16}{25}a^2(h - \frac{a - \frac{4}{5}a}{2})

\frac{64}{125}a^3 = 2a^2h + \frac{16}{25}a^2h - \frac{16}{250}a^3

\frac{144}{250}a^3 = \frac{66}{25}a^2h

h = \frac{12}{55}a

Таким образом, вода установится на высоте $h = \frac{12}{55}a$ от дна стакана, а в сосуде ее высота окажется равной $h_1 = h - \frac{a - \frac{4}{5}a}{2} = \frac{12}{55}a - \frac{1}{10}a = \frac{13}{110}a$

Сила давления сосуда в первом случае $F_1$ определяется массой самого сосуда и массой заполняющей его воды

F_1 = \left(a^3 - \frac{64}{125}a^3\right)3\rho g + \frac{64}{125}a^3\rho g = \frac{247}{125}a^3\rho g

После вынимания пробки часть воды выльется в стакан, и сила давления $F_2$ сосуда на дно стакана во втором случае определяется силой тяжести самого сосуда, минус сила Архимеда, действующая на него. При вычислении силы Архимеда надо понимать, что вода вытесняется только той частью стенок сосуда, которые находятся в воде. Силу $F_2$ можно вычислить также как силу тяжести самого сосуда, плюс сила давления на дно полости слоя воды, находящегося в сосуде, минус сила давления слоя воды в стакане на внешнюю нижнюю грань сосуда. Результат, естественно, будет одинаковым.

F_2 = \left(a^3 - \frac{64}{125}a^3\right)3\rho g + \frac{13}{110}a\frac{16}{25}a^2\rho g - \frac{12}{55}a\rho g a^2 = \frac{1817}{1375}a^3\rho g

Найдем отношение $\frac{F_1}{F_2} = \frac{247}{125} \cdot \frac{1375}{1817} = \boldsymbol{\frac{2717}{1817}} = \frac{11}{23} \cdot \frac{13}{79} \cdot \frac{19}{1}$

Ответ: $\frac{F_1}{F_2} = \frac{2717}{1817} \approx 1{,}5$ .

Критерии оценивания.

№	критерий	баллы
1.	Проверка реализации второго сценария (в сосуде остается вода)	0,5
2.	Правильно записан объем воды до выливания	0,5
3.	Правильно записан объем воды после выливания	1,0
4.	Получен уровень воды в стакане после вынимания пробки	1,0
5.	Получен уровень воды в сосуде после вынимания пробки	1,0
6.	Вычисление силы давления $F_1$ (до открытия отверстия) (Если использована правильная формула для вычисления, но из-за арифметических ошибок, результат не верный, то 1 балл)	2,0
7.	Вычисление силы давления $F_2$ ( после открытия отверстия) (Если использована правильная формула для вычисления, но из-за арифметических ошибок, результат не верный, то 1 балл)	3,0
8.	Получено правильное отношение $\frac{F_1}{F_2}$	1,0
итого:		10,0

Оригинал в Архива: VsOSh_2022_MUN_T.pdf