Съдържание

ВсОШ 2022, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9.1. Индийский чай

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Экспериментальный тур. Сириус, 2022 г.

Условие

Оборудование: мерный цилиндр с неизвестной жидкостью и плавающим в ней телом, шприц без делений, стакан с подкрашенной водой плотностью $\rho_{\text{в}} = 1{,}0\ \mathrm{г/см^3}$ , салфетки для поддержания чистоты.

1. Добавляя в мерный цилиндр подкрашенную воду с помощью шприца, заполненного на объём свободного хода поршня, снимите зависимости объёма $V$ неизвестной жидкости, измеренного по границе раздела жидкостей в мерном цилиндре (см. рисунок), и объёма $V_{\text{в}}$ подкрашенной воды, измеренного по верхней границе воды (см. рисунок), от числа $N$ добавленных шприцев. Постройте графики полученных зависимостей в формате А5.

Мерный цилиндр со шкалой, в котором находится неизвестная жидкость (внизу), слой подкрашенной воды и плавающее тело; стрелками указано: «это $V_{\text{в}}$» — верхняя граница воды, «это $V$» — граница раздела жидкостей.

С помощью графиков определите:

2. объём $V_{\text{ш}}$ свободного хода шприца;

3. плотность $\rho$ неизвестной жидкости*;

4. массу $m$ плавающего тела.

Оцените погрешность полученных результатов. Погрешность шкалы измерительного цилиндра равна половине цены деления.

* Неизвестная жидкость не смешивается с водой

Внимание! Тело из мерного цилиндра извлекать нельзя! Зная, что тело плавает в обеих жидкостях, заранее продумайте ход эксперимента. Ваши действия могут оказаться необратимыми! Неизвестная жидкость замене не подлежит.

Решение

Все приведенные ниже промежуточные величины соответствуют авторской установке и могут отличаться от ваших! Несколько раз наберем полный шприц воды и добавим ее в мерный цилиндр. Ограничители на шприце позволяют каждый раз набирать равные объёмы воды. Снимем зависимости $V_\text{в}(N)$ и $V(N)$ , где $V_\text{в}$ – отметка на шкале мерного цилиндра, соответствующая верхней границе воды (см. область 1 на рисунке); $V$ – отметка на шкале мерного цилиндра, соответствующая верхней границе неизвестной жидкости (см. область 2 на рисунке); $N$ – количество добавленных полных шприцов воды.

$N$	$V_\text{в}$ , мл	$V$ , мл	$N$	$V_\text{в}$ , мл	$V$ , мл	$N$	$V_\text{в}$ , мл	$V$ , мл
0	43	43	10	64	27	20	83	18
1	45	41	11	66	26	21	84	18
2	47	40	12	68	25	22	85	18
3	50	38	13	70	23	23	86	18
4	52	37	14	73	22	24	87	18
5	54	35	15	75	20	25	88	18
6	56	33	16	76	19	26	90	18
7	58	32	17	78	19	27	91	18
8	60	30	18	80	18	28	92	18
9	62	29	19	81	18

Построим график $V(N)$ и проанализируем полученную зависимость.

График $V$, мл от $N$: точки с погрешностями, убывающая синяя прямая от 43 мл при $N=0$ до ~17 мл при $N\approx 17$, далее горизонтальная красная прямая на уровне 18 мл до $N=28$.

На графике заметны два линейных участка: на первом – тело частично погружено в неизвестную жидкость, а на втором уже полностью находится в воде.

Проведя прямые, можно определить $V_0$ – первоначальный объём жидкости в мерном цилиндре. Горизонтальная прямая соответствует $V_0 = 18$ мл. Следовательно, объём вытесняемой телом неизвестной жидкости при свободном плавании равен $\Delta V = 43 - 18 = 25$ мл. С помощью графика можно определить в какой момент тело полностью выходит из нижней жидкости. В данном случае эта точка $N = 16$ .

Построим график зависимости $V_\text{в}(N)$ .

График V_в(N): по оси абсцисс N от 0 до 30, по оси ординат V_в, мл от 40 до 100. Точки с погрешностями; синяя прямая от 43 мл при N=0 и красная прямая, пересекающая ось при 57 мл; пересечение прямых при V_в≈77 мл.

На графике виден излом – момент, когда тело полностью оказывается в воде.

Красная линия позволяет узнать какой истинный объём воды мы добавляли в ходе эксперимента (если бы в измерительный цилиндр не было погружено тело). Пересечению прямых соответствует значение $V_\text{в1} = 77$ мл. Точка пересечения с вертикальной осью позволяет найти $V_\text{в2} = 57$ мл. Разность этих двух значений равна объёму $V_\text{в0}$ налитой с помощью шприца воды.

V_\text{в0} = V_\text{в1} - V_\text{в2} = 77 - 57 = 20\ \text{мл}.

Для нахождения объёма шприца учтем, что за весь эксперимент было налито $92 - 57 = 35$ мл воды, что соответствует 28 шприцам, откуда $V_\text{ш} = 1{,}25$ мл.

Из графика зависимости $V_\text{в}(N)$ можно найти объём $\Delta V_\text{в}$ вытесненной телом воды:

\Delta V_\text{в} = V_\text{в1} - (V_\text{в0} + V_0) = 77 - (20 + 18) = 39\ \text{мл}

Погрешность измеренных величин определяется в первую очередь погрешностью мерного цилиндра ( $\pm 0{,}5$ мл). Учитывая это: $\Delta V = (25 \pm 1)$ мл, $\Delta V_\text{в} = (39 \pm 1)$ мл, $V_\text{ш} = (1{,}25 \pm 0{,}07)$ мл. Условие плавания тела в неизвестной жидкости:

\rho \Delta V = m

Условие плавания в воде:

\rho_\text{в} \Delta V_\text{в} = m

Таким образом $\rho \Delta V = \rho_\text{в} \Delta V_\text{в}$

\rho = \rho_\text{в} \Delta V_\text{в} / \Delta V = 1{,}0 \cdot 39/25 = (1{,}6 \pm 0{,}1)\ \text{г/см}^3

m = 1{,}6 \cdot 25 = (40 \pm 6)\ \text{г}

Оригинал в Архива: Ru22-E.pdf

$N$	$V_\text{в}$ , мл	$V$ , мл	$N$	$V_\text{в}$ , мл	$V$ , мл	$N$	$V_\text{в}$ , мл	$V$ , мл
0	43	43	10	64	27	20	83	18
1	45	41	11	66	26	21	84	18
2	47	40	12	68	25	22	85	18
3	50	38	13	70	23	23	86	18
4	52	37	14	73	22	24	87	18
5	54	35	15	75	20	25	88	18
6	56	33	16	76	19	26	90	18
7	58	32	17	78	19	27	91	18
8	60	30	18	80	18	28	92	18
9	62	29	19	81	18

$N$	$V_\text{в}$ , мл	$V$ , мл	$N$	$V_\text{в}$ , мл	$V$ , мл	$N$	$V_\text{в}$ , мл	$V$ , мл
0	43	43	10	64	27	20	83	18
1	45	41	11	66	26	21	84	18
2	47	40	12	68	25	22	85	18
3	50	38	13	70	23	23	86	18
4	52	37	14	73	22	24	87	18
5	54	35	15	75	20	25	88	18
6	56	33	16	76	19	26	90	18
7	58	32	17	78	19	27	91	18
8	60	30	18	80	18	28	92	18
9	62	29	19	81	18

$N$	$V_\text{в}$ , мл	$V$ , мл	$N$	$V_\text{в}$ , мл	$V$ , мл	$N$	$V_\text{в}$ , мл	$V$ , мл
0	43	43	10	64	27	20	83	18
1	45	41	11	66	26	21	84	18
2	47	40	12	68	25	22	85	18
3	50	38	13	70	23	23	86	18
4	52	37	14	73	22	24	87	18
5	54	35	15	75	20	25	88	18
6	56	33	16	76	19	26	90	18
7	58	32	17	78	19	27	91	18
8	60	30	18	80	18	28	92	18
9	62	29	19	81	18