ВсОШ 2023, Муниципален етап, 7–11 клас — Задача 18. Свет во тьме

• a. $t = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{R}{\upsilon}$
• b. $S_{\min} = \frac{\pi R^2}{4}$

Возможное решение.

Из построения нескольких лучей можно заметить, что радиус $r$ освещённого пятна определяется ходом горизонтального луча: $r = \dfrac{R}{2\cos\alpha}$. Угол связан с высотой $\sin\alpha = \dfrac{h}{R}$.

При засвете всей крышки $R = \dfrac{R}{2\cos\alpha_1} \Rightarrow \cos\alpha_1 = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sin\alpha_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}R$

Это случится в момент времени $t = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\dfrac{R}{\upsilon}$

Для минимальной площади засветки косинус должен стать максимальным : $r_{\min} = \dfrac{R}{2} \Rightarrow S_{\min} = \dfrac{\pi R^2}{4}$

Критерии оценивания.