ВсОШ 2023, Муниципален етап, 7–11 клас — Задача 19. 60 и 30

• $\tau_1 = \frac{v}{2g};\quad \tau = \frac{(\sqrt{3}+1)v}{2g}$

Возможное решение

Введём координатные оси $x$ и $y$ как это представлено на рисунке. В отсутствии сил сопротивления воздуха движение камней является равноускоренным и происходит с ускорением свободного падения. С учётом этого для проекций скоростей камней на оси получаем:

При $t = \tau_1$ скорость первого шарика горизонтально направлена, значит $v_{y1} = 0$. Или $0 = v\sin 30^{\text{o}} - g\tau_1$, откуда $\tau_1 = \dfrac{v\sin 30^{\text{o}}}{g} = \dfrac{v}{2g}$.

При $t = \tau$ скорости шариков снова будут перпендикулярны друг другу. Запишем условие перпендикулярности: $\dfrac{v_{1x}}{v_{1y}} = -\dfrac{v_{2y}}{v_{2x}}$ (или $v_{1x}v_{2x} + v_{1y}v_{2y} = 0$). С учётом $(1) - (4)$ получаем уравнение $v\cos 30^{\text{o}}(-v\cos 60^{\text{o}}) + (v\sin 30^{\text{o}} - g\tau)(v\sin 60^{\text{o}} - g\tau) = 0$, решая которое находим $\tau = \dfrac{(\sqrt{3}+1)v}{2g}$ (корень $\tau = 0$ не подходит).

Ответ: $\tau_1 = \dfrac{v}{2g}$; $\tau = \dfrac{(\sqrt{3}+1)v}{2g}$.

Возможные критерии оценивания