ВсОШ 2023, Муниципален етап, 7–11 клас — Задача 22. По трубе

• $v_{\max} = \sqrt{2gR};\quad N_{\max} = \frac{q^2B^2R}{6m}$

Возможное решение

Расставим силы, действующие на шарик в произвольный момент времени. Введем ось $x$, проходящую через шарик и центр окружности радиуса $R$. $N$ – сила нормальной реакции (предположим, что она направлена к центру окружности). Магнитная составляющая силы Лоренца $F = qvB\sin 90^{\text{o}} = qvB$ направлена к центру окружности (по правилу левой руки с учётом $q > 0$). $\alpha$ − угол между осью $x$ и горизонталью в произвольный момент времени.

Запишем II закон Ньютона в проекции на ось $x$: $ma_x = N_x + F - mg\sin\alpha$, где $a_x = \dfrac{v^2}{R}$.

При движении шарика в трубке магнитная составляющая силы Лоренца и сила нормальной реакции на шарик со стороны трубки работы не совершают, значит полная механическая энергия шарика сохраняется.

Из закона сохранения энергии: $mgR\sin\alpha = \dfrac{mv^2}{2}$. Значит максимальная скорость в процессе дальнейшего движения достигается в самой нижней точке трубки и равна $v_{max} = \sqrt{2gR}$ .

С учётом II закона Ньютона и закона сохранения энергии получаем зависимость силы нормальной реакции в проекции на ось $x$ от скорости $v$ шарика: $N_x = \dfrac{3mv^2}{2R} - qvB$. (1)

Зависимость (1) является квадратичной, графиком этой зависимости является парабола.

Заметим, что $N_x = 0$ при $v = 0$ и, с учётом соотношения $\dfrac{qB}{3m} = \sqrt{\dfrac{g}{2R}}$, при $v = v_{max}$. А при значениях $v \in (0; v_{max})$ сила реакции $N_x < 0$. Найдем максимальное значение модуля силы реакции через координаты вершины параболы $\left(\dfrac{qBR}{3m}; -\dfrac{q^2B^2R}{6m}\right)$, значит $N_{max} = \dfrac{q^2B^2R}{6m}$.

Ответ: $v_{\max} = \sqrt{2gR}$ ; $N_{max} = \dfrac{q^2B^2R}{6m}$.

Возможные критерии оценивания