Съдържание

ВсОШ 2023, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 3. 10-E1 · Насыщенный пар

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2023

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике · Заключительный этап · Экспериментальный тур · 10 април 2023 г.

Внимание: Бележка към темата

Сохранены печатные расхождения источника: ключ «Насыщенный пар» обозначен №10-E2, хотя условие — №10-E1; единица x и знак на логарифмическом графике; отрицательный коэффициент k в ключе «Звук в сосуде»; значения и единицы таблиц «Солнечные батареи». Ключи сопоставлены по полному содержанию задач, печатные формулы и данные не исправлены.

Обложка

Министерство просвещения Российской Федерации

Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап

Экспериментальный тур

Санкт-Петербург, 2023 г.

Авторы задач

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике

E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

9 класс

9-E1. Сергей Кармазин
9-E2. Иван Юдин

10 класс

10-E1. Юрий Черников
10-E2. Александр Аполонский, Максим Карманов

11 класс

11-E1. Александр Аполонский
11-E2. Виталий Шевченко

Условие

В задаче требуется оценка погрешности

Задание:

1. Укажите в начале отчета номер выданной вам трубки.

С помощью выданного термометра определите комнатную температуру $T_0$ и запишите ее в отчет по работе.

Наполните шприц номиналом 20 мл воздухом при комнатной температуре до максимального объема (т. е. доведите поршень шприца до упора). Измерьте геометрически объем $V$ воздуха в шприце.

Зажмите шприц в ладони так, чтобы площадь контакта ладони с поверхностью шприца была максимально возможной. Воздух в шприце начнет нагреваться от тепла вашей руки. Обозначим $T_h$ температуру воздуха в шприце через 5 минут после начала нагрева от комнатной температуры. Предложите способ измерения $T_h$ , основанный на использовании газовых законов, и определите величину $T_h$ .

Шприц с поршнем: Упор, V, шкала 20, 15, 10, 5 мл.

2. Установите поршень большого шприца так, чтобы объем воздуха в нем был максимальным. Во всех последующих экспериментах объем используемого большого шприца также должен быть максимальным.

Соберите установку, позволяющую определить количество испарившейся в большом шприце жидкости по изменению некоторого объема. Поместите в большой шприц каплю жидкости объемом 0,1 - 0,3 мл, не допуская ее растекания по стенкам (капля должна быть локализована). Шприц при этом должен оставаться при комнатной температуре.

Измерьте зависимость давления паров испаряющейся жидкости от времени. Измерение зависимости проводите не менее 6 минут. Установление давления насыщенного пара в шприце занимает много времени из-за того, что площадь капли мала.

После завершения необходимых измерений наклоните шприц так, чтобы капля растеклась по его стенкам. Дождитесь момента, когда давление в шприце перестанет меняться. Рассчитайте величину давления насыщенного пара $p_c$ .

Комнатная температура с момента проведения первого эксперимента могла измениться. Запишите величину комнатной температуры $T_c$ , отвечающее измеренному давлению насыщенного пара.

3. Предположим, что количество молекул, покидающих каплю в единицу времени неизменно, а количество молекул конденсирующихся в единицу времени из газовой фазы пропорционально давлению паров этой жидкости над каплей. Получите теоретическую зависимость давления паров испаряющейся в замкнутом пространстве жидкости от времени. В каких координатах график полученной зависимости будет линейным? Постройте линеаризованный график.

Если получить явное выражение для зависимости давления от времени не удается, предположите координаты, в которых зависимость скорости изменения давления от давления может быть описана линейной функцией.

Примечание: Если малые приращения $da$ и $db$ величин $a$ и $b$ связаны соотношением следующего вида: $\frac{da}a=k\cdot db$ , где $k=\mathrm{const}$ , то связь между большими приращениями этих величин рассчитывается по формуле: $\Delta(\ln a)=k\cdot\Delta b$ .

4. Постройте измеренную в пункте 2 зависимость в координатах, предложенных в пункте 3, на миллиметровой бумаге. Сделай вывод, выполняется ли модель испарения жидкости, описанная в пункте 3, для измеренных вами данных.

5. Не разбирая установку, зажмите шприц с помещенной в него жидкостью в руку. Измерьте давление насыщенного пара в шприце при температуре $T_h$ .

6. По полученным данным определите давление насыщенного пара неизвестной жидкости при температуре $28\,{}^\circ\mathrm{C}$ .

Оборудование: 9 шприцев номиналом 20 мл (без игл), шприц номиналом 5 мл с иглой с неизвестной жидкостью - по запросу шприц может быть дополнительно наполнен жидкостью (не более 3 раз), шприц номиналом 1 мл (без иглы), трубка силиконовая, скотч, рулетка, секундомер, термометр, салфетки для поддержания рабочего места в чистоте.

Примечание:

Скорость диффузии паров неизвестной жидкости по выданной трубке крайне мала. Примите атмосферное давление равным $p_0=(102\pm1)$ кПа.
Вам выдано достаточно большое количество шприцев номиналом 20 мл, чтобы для каждого эксперимента использовать новый, без следов неизвестной жидкости.
Секундомер используйте в режиме часов, поскольку в данной работе достаточно точности измерения времени в 1 секунду.
Считайте, что погрешность нанесения шкалы на шприцы номиналом 20 мл составляет 0,1 мл.
У выданных вам термометров сдвинута шкала, поэтому на корпусе каждого указана поправка к его показаниям. Если написано +1, то реальная температура на один градус выше показаний термометра.

Решение

Задача №10-E2. Насыщенный пар

Выдвинем поршень большого шприца в максимальное положение. Длина объема воздуха внутри шприца в этом случае составит $z=(7,9\pm0,1)$ см. Длина его шкалы, соответствующая $V_0=(20,0\pm0,1)$ мл, составляет $z_0=(6,9\pm0,1)$ см. Тогда объем воздуха внутри шприца составляет:

V=V_0\frac z{z_0}=(22,9\pm0,7)\ \text{мл}.

Оценим погрешность измеренного объема:

\Delta V=V_0(\varepsilon_z+\varepsilon_{z_0})=0,7\ \text{мл}.

Измерим площадь внутреннего сечения трубки. Для этого наберем в шприц объемом 1 мл жидкость. Наденем трубку на шприц, зальем небольшое количество жидкости в трубку, так чтобы поршень шприца встал в положение, соответствующее объему жидкости внутри шприца $v_1=(1,00\pm0,01)$ мл. Сделаем отметку на трубке. Далее закачаем в трубку жидкость до момента, пока поршень не сместится до положения $v_2=(0,10\pm0,01)$ мл. Вновь сделаем отметку на трубке. Измерим расстояние $l=(13,8\pm0,1)$ см между отметками на трубке с помощью линейки. Величина поперечного сечения трубки составит:

s=\frac{v_1-v_2}{l}=(6,5\pm0,2)\cdot10^{-2}\ \text{см}^2.

Запишем величину комнатной температуры $T_0=(23\pm1)$ °С $\approx296$ K. Соберем установку, изображенную на рисунке.

Шприц 20 мл, трубка, полотно рулетки, капля жидкости, координата x и длина l.

Рис. 1

Для этого закрепим на столе полотно рулетки с помощью скотча. Положим на полотно рулетки трубку, также закрепим ее скотчем. С помощью шприца объемом 1 мл поместим в трубку каплю жидкости на небольшом расстоянии от одного из концов трубки. Вставим в этот конец трубки кончик шприца объемом 20 мл. После подключения шприца к трубке сделаем отметку на трубке, соответствующую дальней от шприца границе капли жидкости. Следить за дальней от шприца границей капли необходимо по причине того, что при движении капли по трубке, капля может дробиться на более мелкие. Последнее приводит к тому, что часть воздуха попадает в пространство между вновь образованными каплями и смещение ближней к шприцу границы не отвечает изменению суммарного объема воздуха. Возьмем шприц в руку и засечем время на секундомере. Капля начнет движение по трубке в направлении от шприца. По прошествии 5 минут вновь сделаем отметку на трубке, соответствующую дальней от шприца границе капли. Измерим расстояние между отметками на трубке $l_d=(10,7\pm0,1)$ см. Будем предполагать, что воздух, вышедший из шприца в трубку, имеет температуру окружающей среды. Также известно, что давление внутри шприца и трубки равно атмосферному $p_0$ . Запишем тогда условие сохранения количества воздуха внутри системы при изменении температуры воздуха в шприце:

\frac{p_0(V+V_t)}{T_0}=\frac{p_0(l_ds+V_t)}{T_0}+\frac{p_0V}{T_h},

где $V_t$ — объем воздуха внутри трубки до ее нагрева. Тогда для температуры воздуха внутри шприца после нагрева имеем:

T_h=\frac{T_0}{1-\frac{sl_d}{V}}=305,3\ \text{K}=(32,3\pm1,6)\ {}^\circ\text{C}.

Для оценки погрешности преобразуем в первом порядке малости:

T_h-T_0=T_0\frac{sl_d}{V}.

Тогда абсолютную погрешность повышения температуры можно рассчитать как:

\Delta T_h=\Delta T_0+(T_h-T_0)(\varepsilon_{T_0}+\varepsilon_s+\varepsilon_{l_d}+\varepsilon_V)=1,6\ {}^\circ\text{C}.

Отключим от трубки нагретый шприц. Поместим в трубку с помощью шприца объемом 1 мл каплю достаточно большого объема. Расположим каплю при этом достаточно близко к одному из концов трубки. Измерим ее длину $l_0=(16,0\pm0,1)$ см. Подключим к этому концу трубки новый шприц объемом 20 мл. Сделаем отметку на трубке, соответствующую дальней от шприца границе капли, и запишем ее координату $x_0=(31,5\pm0,1)$ см. Подключим к противоположному концу трубки шприц объемом 1 мл, предварительно наполнив его воздухом. Будем нажимать на поршень малого шприца так, чтобы капля начала движение к большому шприцу. Контролируя движение капли с помощью малого шприца, поместим таким образом каплю объемом приблизительно 0,2 мл в большой шприц. Запустим секундомер. Вернем дальнюю от большого шприца границу капли в прежнее положение, чтобы выровнять давление в большом шприце, и отключим шприц объемом 1 мл от трубки. Капля при этом будет двигаться по трубке в сторону ее открытого конца, так как жидкость в шприце будет испаряться. Измерим зависимость координаты $x$ капли от времени. После завершения измерения зависимости дадим капле растечься по стенкам шприца, подождем еще около минуты и запишем конечное положение капли $x_c=(56,3\pm0,1)$ см и ее длины $l=(14,0\pm0,1)$ см.

Определим давление насыщенного пара. Давление воздуха внутри системы равно атмосферному и складывается в каждой точке из давления сухого воздуха и давления паров жидкости. В конечном состоянии давление пара во всем объеме системы одинаково. Тогда запишем для этого случая равенство, связанное с постоянством количества сухого воздуха в системе:

p_0(V+(x_0-l_0)s)=(p_0-p_c)(V-(l_0-l)s+(x_c-l)s).

Откуда для давления насыщенного пара при температуре $T_c=(23\pm1)$ °C получаем:

p_c=p_0\frac{(x_c-x_0)s}{V+(x_c-l_0)s}=(6,5\pm0,5)\ \text{кПа}.

Погрешность установившегося давления рассчитаем, пренебрегая погрешностью слагаемого $(x_c-l_0)s$ по сравнению с объемом шприца $V$ :

\Delta p_c=p_c(\varepsilon_{p_0}+\varepsilon_s+\varepsilon_{x_c-x_0})=0,5\ \text{кПа}.

Заметим, что такое пренебрежение порядками малости не вносит в ответ изменения сравнимого с погрешностью.

Найдем значения давления пара в шприце в промежуточные моменты времени. Пар в трубке можно с большой точностью считать насыщенным. Давление же пара в шприце $p$ еще не вышло на насыщение. Запишем для промежуточного момента времени равенство, связанное с сохранением количества сухого воздуха в системе:

p_0(V+(x_0-l_0)s)=(p_0-p_c)(x-l)s+(p_0-p)(V-(l_0-l)s).

Откуда для давления в шприце в промежуточный момент времени получаем:

p=\frac{-p_c(x-l)s+p_0(x-x_0)s}{V-(l_0-l)s}.

Рассчитаем давление для каждой координаты и внесем результаты в таблицу.

$t$ , с	$x$ , м	$p$ , кПа	$\ln\frac{p_c-p}{\text{кПа}}$	$\Delta\ln\frac{p_c-p}{\text{кПа}}$
30	33,0	1,6	1,59	0,02
40	34,0	2,0	1,51	0,02
50	34,8	2,3	1,44	0,02
60	35,5	2,5	1,38	0,02
70	36,3	2,8	1,31	0,03
80	37,0	3,1	1,24	0,03
90	37,5	3,2	1,18	0,03
100	38,1	3,5	1,11	0,03
110	38,6	3,6	1,05	0,03
120	39,0	3,8	1,00	0,03
140	39,8	4,1	0,89	0,04
160	40,5	4,3	0,78	0,04
180	41,0	4,5	0,69	0,04
200	41,5	4,7	0,59	0,05
220	42,0	4,9	0,49	0,05
240	42,4	5,0	0,40	0,05
270	42,6	5,1	0,35	0,06
300	43,0	5,2	0,24	0,06
330	43,4	5,4	0,12	0,07
360	43,6	5,4	0,05	0,07
390	43,8	5,5	−0,02	0,07
420	44,0	5,6	−0,10	0,08

В условии задачи описана модель испарения капли, в которой предполагается, что скорость испарения с поверхности капли постоянна, а скорость конденсации пропорциональна установившемуся над каплей давлению пара. Так как при давлении насыщенного пара концентрация молекул с течением времени над каплей неизменна, то в этот момент скорость испарения равна скорости конденсации. В соответствии с этой моделью для скоростей испарения и конденсации имеем:

\begin{cases}\left(\dfrac{dN}{dt}\right)_{\text{испарен}}=\alpha p_c\\\left(\dfrac{dN}{dt}\right)_{\text{конденсац}}=\alpha p\end{cases},

где $\alpha$ — коэффициент пропорциональности.

Тогда скорость изменения количества молекул над каплей:

\frac{dN}{dt}=\left(\frac{dN}{dt}\right)_{\text{испарен}}-\left(\frac{dN}{dt}\right)_{\text{конденсац}}=\alpha(p_c-p).

Так как давление пара пропорционально концентрации молекул над жидкостью, то и скорость изменения давления пара над жидкостью пропорциональна скорости изменения количества молекул в газообразной фазе над жидкостью. Тогда для кинетики увеличения давления запишем:

\frac{dp}{dt}=\frac{p_c-p}{\tau},

где $\tau$ — некоторая константа, характеризующая скорость испарения.

Полученное дифференциальное уравнение достаточно распространено даже в школьной физике. Например, скорость изменения температуры в стакане с жидкостью, в которую помещен нагреватель постоянной мощности, описывается подобным законом (в случае теплопотерь, описывающихся законом Ньютона–Рихмана). По такому же закону устанавливается напряжение на конденсаторе, при подключении его к источнику постоянного напряжения. Для решения этого уравнения сделаем замену переменных $p'=p_c-p$ . Тогда уравнение можно переписать в виде:

-\frac{dp'}{dt}=\frac{p'}{\tau}.

Разделим переменные и проинтегрируем выражение:

\ln\frac{p'}{p'_0}=-\frac t\tau,

где $p'_0=p_c$ — значение переменной $p'$ в начальный момент времени.

После обратной замены переменных:

\ln\frac{p_c-p}{p_c}=-\frac t\tau.

То есть измеренная ранее зависимость должна быть линейной в координатах $\ln(p_c-p)$ от $t$ .

Пересчитаем ранее полученные значения и построим график в предложенных координатах.

Исходный график ln((p−pc)/кПа) от t: точки, погрешности и все деления осей.

График зависимости разности давления насыщенного пара и давления пара в шприце от времени

Оценим погрешность экспериментальных точек. Для этого запишем расчетную формулу для разности давлений с учетом небольших пренебрежений в знаменателе точных формул.

p_c-p=\frac{p_0s}{V}\left((x_c-x)+\frac{(x_c-x_0)(x-l)s}{V}\right).

Погрешность логарифма этой величины равна относительной погрешности самой величины. При этом погрешность множителя $\frac{p_0s}{V}$ при проверке модели не следует учитывать, так как это значение одинаково для всех точек. Его изменение приведет лишь к смещению всего графика, а не к изменению относительного положения точек. Тогда для погрешности логарифма разницы давлений имеем:

\Delta\ln(p_c-p)=\frac{\Delta x_c+\Delta x+\frac{(x_c-x_0)(x-l)s}{V}(\varepsilon_{x_c-x_0}+\varepsilon_{x-l}+\varepsilon_s+\varepsilon_V))}{(x_c-x)+\frac{(x_c-x_0)(x-l)s}{V}}.

Проведение расчета погрешностей для каждой экспериментальной точки занимает крайне много времени, поэтому достаточно оценить погрешность лишь приблизительной трех точек графика на границах и в середине измеренного диапазона.

Видно, что точки не описываются прямой линией. Угловой коэффициент графика при малых временах больше, чем в конце. Можно сделать вывод, что предложенная модель не выполняется.

Также экспериментальные точки можно обработать и другим способом. Построим график зависимости давления от времени и проведем к графику касательные в нескольких точках.

График p от t: экспериментальные точки, кривая и касательные.

График зависимости давления пара от времени

Рассчитаем угловые коэффициенты касательных. И построим график зависимости производной давления по времени от величины давления.

$p$ , кПа	$\frac{dp}{dt}$ , Па/с
2.4	30
3.5	23
4.2	13
4.85	5.5
5.4	2.5

Видно, что построенный график можно описать линейной функцией, что согласуется с предложенной в условии моделью. Однако, экстраполяция графика

График зависимости dp/dt от p: точки, прямая, единицы и все деления осей.

График зависимости скорости изменения давления от давления

показывает, что скорость изменения давления должна оказаться нулевой при давлении в 5.6 кПа, что меньше измеренного давления насыщенного пара. То есть по сути процесс испарения остановиться при давлении, соответствующем меньшей температуре поверхности жидкости.

Положим шприц с насыщенными парами жидкости в руку и вновь засечем время (не будем при этом отключать его от трубки после предыдущего опыта). Капля начнет движение в сторону от шприца. Такое поведение системы обуславливается двумя факторами. Расширением сухого воздуха в шприце за счет изменения его давления и увеличением давления пара жидкости в шприце. Подождем 5 минут и сделаем отметку на трубке. Запишем координату этой отметки $x_h=(78,5\pm0,1)$ см. Для записи связи этой координаты с давлением насыщенного пара в системе, будем предполагать, что воздух в шприце находится при температуре $T_h$ , а воздух в трубке при температуре $T_c$ .

\frac{p_0(V+(x_0-l_0)s)}{T_c}=\frac{(p_0-p_c)(x_h-l)s}{T_c}+\frac{(p_0-p_h)(V-(l_0-l)s)}{T_h}.

Тогда для давления насыщенного пара жидкости при температуре $T_h$ получаем:

p_h=p_0-\frac{T_h}{T_c}\frac{p_0(V+(x_0-l_0)s)-(p_0-p_c)(x_h-l)s}{V-(l_0-l)s}.

Преобразуем формулу к более удобному виду. В первую очередь пренебрежем объемом капли $(l_0-l)s\approx0.1$ мл по сравнению с объемом $V$ .

p_h=-p_0\frac{l_ds}{V}+p_0\frac{T_h}{T_c}\frac{(x_h-x_0+l_0-l)s)}{V}-p_c\frac{T_h}{T_c}\frac{(x_h-l)s}{V}.

Каждое из слагаемых в сумме связано с определенным процессом, происходящем при нагревании. Так, первое слагаемое, связано с нагреванием сухого воздуха в шприце:

p_1=-p_0\frac{l_ds}{V}=-(3,1\pm0,3)\ \text{кПа}.

Погрешность этого слагаемого оценим как:

\Delta p_1=|p_1|(\varepsilon_{p_0}+\varepsilon_{l_d}+\varepsilon_s+\varepsilon_V)=0,3\ \text{кПа}.

Второе слагаемое связано с заполнением воздухом трубки:

p_2=p_0\frac{T_h}{T_c}\frac{(x_h-x_0+l_0-l)s}{V}=(14,7\pm1,3)\ \text{кПа}.

Погрешность этого слагаемого оценим как:

\Delta p_2=p_2(\varepsilon_{p_0}+\varepsilon_{T_c}+\varepsilon_{T_h}+\varepsilon_{x_h-x_0+l_0-l}+\varepsilon_s+\varepsilon_V)=1,3\ \text{кПа}.

Последнее слагаемое связано с тем, что трубка заполняется не сухим, а влажным воздухом.

p_3=-p_c\frac{T_h}{T_c}\frac{(x_h-l)s}{V}=-(1,2\pm0,2)\ \text{кПа}.

Погрешность этого слагаемого оценим как:

\Delta p_3=p_3(\varepsilon_{p_c}+\varepsilon_{T_c}+\varepsilon_{T_h}+\varepsilon_{x_h-l}+\varepsilon_s+\varepsilon_V)=0,2\ \text{кПа}.

Тогда давление $p_h$ составит:

p_h=p_1+p_2+p_3=(10,3\pm1,7)\ \text{кПа}.

Для расчета давления паров жидкости при температуре 28°C воспользуемся графическим методом. Поставим на координатной бумаге точки, соответствующие измеренным величинам $(T_c;p_c)$ и $(T_h;p_h)$ . Проведем линии, через измеренные точки, по которым можно оценить значения давления при промежуточных температурах. Окончательно получим:

График p от T: две измеренные точки с погрешностями и две граничные прямые.

p_{28}=(8,7\pm1,2)\ \text{кПа}.

Оригинал в Архива: Ru23-E.pdf