ВсОШ 2023, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1. 9-E1 · Бистабильная система

Возможные решения

Задача №9-E1. Бистабильная система

В нижней части направляющих конструкции найдем два числа (четное и нечетное), в бланк ответов запишем нечетное, которое служит для однозначной идентификации установки, на которой проводились измерения.

Для измерения требуемой силы $F$ существует два способа. Можно использовать динамометр во всем диапазоне изменения $y$. Однако этот способ имеет недостатки. Из-за габаритов конструкции сложно обеспечить вертикальность приложенной силы; точность измерений зависит в том числе и от цены деления динамометра. Поэтому будем использовать бутылку, привязанную на нити. В бутылку с помощью шприца будем наливать известный объем воды и таким образом регулировать силу с большей точностью.

Величину $2y$ будем измерять линейкой, а соответствующую величину $2x$ можно либо измерять непосредственно, а можно вычислять по теореме Пифагора, предварительно измерив сторону ромба $a=190$ мм. Следует обратить внимание, что пружина имеет начальное сжатие, и ее длина начинает увеличиваться только после превышения силой $F$ определенного значения.

Заметим, что каждому значению силы $F$ соответствует два положение равновесия — верхнее устойчивое и нижнее неустойчивое. Поэтому целесообразно для каждой массы бутылки с водой сразу измерять оба значения $y$ — верхнее и нижнее.

При измерениях ниже неустойчивого положения равновесия, которое реализуется при $F=0$ и при $y<50$ мм, направление силы $F$ изменяется. Для удержания системы в положении равновесия силу $F$ необходимо прикладывать вверх и измерять ее динамометром.

Снимем зависимость $F(y,x)$. Ниже приведена таблица измерений.

На рисунке представлен график зависимости, построенной по результатам проведенных измерений.

Существует два равноценных метода вычисления силы $F$: через статическое равновесие и через метод виртуальных перемещений. Воспользуемся последним.

Если вертикальная диагональ ромба уменьшится на величину $2\Delta y$, то центр масс системы опустится на величину $\Delta y$, а горизонтальная диагональ ромба (дополнительное растяжение пружины) увеличится на $2\Delta x$.

При незначительном отклонении системы от положения равновесия суммарная работа всех внешних сил равна нулю:

Пусть сторона ромба равна

тогда

Раскрывая скобки, вычитая (2) из (3) и пренебрегая слагаемыми второго порядка малости получим, что

С учетом (4) выражение (1) приобретает вид

и представляет собой теоретическую зависимость силы $F$, обеспечивающую равновесное состояние системы, от величин $y$ и $x$.

Для вычисления $l_0$ используем две пары значений $(y_{\text{в}},x_{\text{в}})$ и $(y_{\text{н}},x_{\text{н}})$, которые получены для верхнего и нижнего равновесия при одной и той же силе $F$. Сила $F$ должна быть достаточной для того, чтобы пружина начала удлиняться.

Согласно (5)

откуда $l_0=2(y_{\text{в}}-y_{\text{н}})/\left(\frac{y_{\text{в}}}{x_{\text{в}}}-\frac{y_{\text{н}}}{x_{\text{н}}}\right)$.

Для расчета используем значения $y_{\text{в}}=174$ мм, $y_{\text{н}}=108$ мм, $x_{\text{в}}=76$ мм, $x_{\text{н}}=156$ мм, соответствующие $F=2{,}2$ Н, и получим $l_0=83$ мм. Такое же значение получается, если для расчетов взять другую пару $y$ и $x$.

Преобразуем выражение (5), получим $F=k\cdot W-\frac{mg}2$. Функция $F(W)$ является линейной.

Дополним таблицу измерений столбцом значений $W$, рассчитанных для нижнего положения равновесия, так как только в этом случае пружина остается растянутой во всем диапазоне измерений.

Построим график зависимости $F(W)$.

По угловому коэффициенту прямой находим $k=26$ Н/м, а по пересечению с осью ординат $m=390$ г.