ВсОШ 2023, Road to IPhO — Задача 1. Часть A. Спектральные свойства источника

Road to IPhO. Определение показателя преломления · 3,77 т.

Условие

Показатель преломления материала – нелинейная величина, зависящая от длины волны падающего излучения. Эта зависимость может быть ключевым свойством материала при изготовлении простейших спектроскопических приборов (к примеру – призм). В то же время зависимость показателя преломления от длины волны бывает губительна в других оптических приборах, в частности там, где важна точная фокусировка лучей. В последнее время появляется всё больше новых материалов и веществ, оптические свойства которых необходимо исследовать. В этой задаче мы попробуем определить зависимость показателя преломления неизвестной жидкости от длины волны, используя жидкость, для которой эта зависимость уже известна.

Схема измерений представлена на рисунке ниже. На воздушную призму с тонкими стенками с углом $\alpha = 30^{\circ}$ при вершине, погружённую в исследуемую жидкость, падает тонкий луч источника. Луч падает на одну из граней призмы перпендикулярно в точке $A$ и затем выходит из призмы в точке $B$. Из-за зависимости показателя преломления от длины волны углы, под которыми лучи разной длины волны выйдут из призмы, будут различаться. На расстоянии $L$ от точки $B$ находится экран, перпендикулярный $AO$. Для удобства дальнейшей работы введём безразмерную величину $x = \frac{y}{L}$. На экране размещено множество светочувствительных элементов, которые измеряют интенсивность $\mathcal{J}_x(x)$ (мощность, падающую на единицу площади поверхности в единицу времени) в точках, в которых они расположены.

Часть A. Спектральные свойства источника (3.77 балла)

Обычный источник света (такой как настольная лампа) характеризуется тем, что излучает свет не одной длины волны (как это делает лазер), а длин волн сразу в некотором диапазоне. Чтобы охарактеризовать его излучение, введём понятие спектральной плотности $\mathcal{J}_\lambda(\lambda)$. Мы определяем её так, чтобы мощность, излучаемая источником в диапазоне длин волн от $\lambda$ до $\lambda+\Delta\lambda$, равнялась $\mathcal{J}_\lambda(\lambda)\Delta\lambda$, где $\Delta\lambda$ – малая величина. В этой части задачи мы исследуем спектральную плотность источника.

Выясним сначала, в какую точку $x$ на экране должен попадать луч, проходящий через призму, в зависимости от показателя преломления жидкости. Применив закон Снеллиуса для лучей получим следующую формулу для зависимости $x$ от $n$:

Чтобы по известному значению $x$ восстановить значение $n$, формулу (1) необходимо "обратить". В результате несложных вычислений получим:

Показатель преломления большинства прозрачных материалов в видимом диапазоне можно приближённо описать формулой:

где $A$ и $B$ – некоторые постоянные.

Сначала измерения проводят в известной жидкости, для которой эти постоянные равны $A = 1.14$ и $B = 8.6\cdot 10^4\ \mathrm{нм}^2$. В таблице в листе ответов приведены значения интенсивности $\mathcal{J}_x$ в условных единицах в точках с координатой $x$.

A1 Для каждого $x$ найдите $n$. [0,41 т.]

A2 Для каждого $x$ найдите $\lambda$. [0,82 т.]

Чтобы получить формулу для спектральной плотности $\mathcal{J}_\lambda$, необходимо провести более сложные расчёты. Ограничимся здесь лишь итоговой формулой для спектральной плотности:

A3 Для каждого $x$ найдите $\mathcal{J}_\lambda$ (в условных единицах на нм). Поскольку для каждого $x$ мы уже вычислили $\lambda$, мы получили зависимость $\mathcal{J}_\lambda(\lambda)$. [0,82 т.]

A4 Постройте график $\mathcal{J}_\lambda(\lambda)$. [0,49 т.]

В дальнейшем нам также понадобится посчитать, какая доля мощности источника излучается на длинах волн, меньших некоторого значения $\lambda$. Обозначим эту величину как $\sigma(\lambda)$. Для её нахождения надо посчитать площадь под графиком $\mathcal{J}_x$. Это мы будем делать методом трапеций.

Пусть нам известны значения $f_i$ функции $f(x)$ в точках $x_i$. Тогда площадь под графиком этой функции можно оценить как сумму площадей трапеций, построенных, как показано на рисунке ниже.

Поскольку в нашем случае точки $x_i$ расположены через равные интервалы, формула для итоговой площади $S_k$ под графиком между точками $x_0$ и $x_k$ имеет вид:

где $\Delta x = x_{i+1} - x_i$ – расстояние между соседними точками.

A6 Найдите для каждого $x$ значение $\sigma$. Поскольку для каждого $x$ мы нашли $\lambda$, мы получили также зависимость $\lambda(\sigma)$. [1,23 т.]

Решение

---

Оригинал в Архива: W23E-prob.pdf