ВсОШ 2024, Муниципален етап, 7–11 клас, учебна 2023/24 — Задача 11. В аквариуме

• a. $\alpha = \frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{2}$

• b. $|x_2| = 5x_1$

  Правая пружина сжата.

• c. $\alpha' = \frac{1}{2}$

• d. $x_1' = 3x_1$

• e. Правая пружина растянута.

• f. $x_2' = x_1$

• g. $l = 4x_1$

  Ось подвижного блока опустилась.

9.3. В аквариуме. (Киреев А.А.)

Возможное решение.

Введём обозначения: $\rho$ – плотность тел, $\rho_0$ – плотность жидкости, $m$ и $3m$ – массы цилиндров $A$ и $B$ соответственно; $g$ – ускорение свободного падения, $k$ – коэффициент жёсткости пружин. Откуда $V_\mathrm{A} = \frac{m}{\rho}$ и $V_\mathrm{B} = \frac{3m}{\rho}$ – объёмы цилиндров $A$ и $B$ соответственно, а значит $F_\mathrm{A} = \rho_0 g \frac{m}{\rho}$ и $F_\mathrm{B} = \rho_0 g \frac{3m}{\rho} = 3F_\mathrm{A}$ – силы Архимеда, действующие на них.

До перевешивания грузов.

Из условия равновесия подвижного лёгкого блока $T_2 = 2T_1$, значит $\alpha = \frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{2}$.

Из закона Гука $T_1 = kx_1$.

Запишем условия равновесия грузов $A$ и $B$ соответственно:

где $x_2$ – удлинение второй пружины.

Из соотношений (1), (2) и $T_2 = 2T_1 = 2kx_1$; $F_\mathrm{B} = 3F_\mathrm{A}$ получаем $x_2 = -5x_1 < 0$. Значит, правая пружина сжата и $|x_2| = 5x_1$.

После перевешивания грузов.

Из условия равновесия подвижного лёгкого блока $T_2' = 2T_1'$, значит $\alpha' = \frac{T_1{}'}{T_2{}'} = \frac{1}{2}$.

Из закона Гука $T_1{}' = kx_1{}'$.

Запишем условия равновесия грузов $B$ и $A$ соответственно:

где $x_2{}'$ – удлинение второй пружины.

Из соотношений (1), (3), $T_2{}' = 2T_1{}' = 2kx_1{}'$, $T_2 = 2T_1 = 2kx_1$ и $F_\mathrm{B} = 3F_\mathrm{A}$ получаем $x_1' = 3x_1$.

Из соотношений (3), (4), $T_2{}' = 2T_1{}' = 2kx_1{}'$, $F_\mathrm{B} = 3F_\mathrm{A}$ и $x_1' = 3x_1$ находим $x_2' = x_1$. Значит, правая пружина растянута.

Левая пружина увеличила свою деформацию на $2x_1$, правая пружина увеличила свою деформацию на $6x_1$, а значит из условия нерастяжимости нити 1 приходим к выводу, что ось подвижного блока опустилась на $l = \frac{2x_1 + 6x_1}{2} = 4x_1$.

Критерии оценивания

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи. Под обоснованным подразумевается ответ полученный из правильно записанных условий равновесия тел.