Съдържание

ВсОШ 2024, Муниципален етап, 7–11 клас, учебна 2023/24 — Задача 12. Кубик ЛФИ

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2024

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО ФИЗИКЕ. МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП. 2023-2024 учебный год · 10 т.

Условие

Согласно закону Ньютона-Рихмана, мощность $P$ теплообмена между двумя телами пропорциональна площади $S$ контактируемой поверхности и разности температур между телами:

P = \alpha S(T - T_0),

где $\alpha$ — некоторый размерный коэффициент.

a. Запишите единицы измерения коэффициента $\alpha$ в СИ.

В большом помещении с постоянной комнатной температурой $T_0$ на теплоизолированную поверхность поставили металлический куб со стороной $b$ и исследовали зависимость его температуры от времени. Результаты представлены на рисунке 1.

График T, °C (12–22) от t, мин (0–160): температура куба растёт от 13 °C при t = 0 до 22 °C при t = 160 мин, кривая выпуклая вверх (рост замедляется). — Рисунок 1

График T, °C (26–36) от t, мин (0–160): температура куба убывает от 35 °C при t = 0 до 26 °C при t = 160 мин, кривая выпуклая вниз (убывание замедляется). — Рисунок 2

Опыт повторили, только теперь начальная температура куба была другой (см. рисунок 2). Оказалось, что графики двух зависимостей являются зеркальным отражением друг друга.

b. Чему равно значение комнатной температуры $T_0$ ?

В пунктах с - е будем считать, что мощность теплопотерь куба оставалась такой же, как и начальная мощность в реальном эксперименте.

c. Оцените время $\tau$ остывания куба во втором эксперименте до комнатной температуры в такой модели.

d. Считая удельную теплоемкость $c$ и плотность $\rho$ материала куба известными, оцените значение коэффициента $\alpha$ .

e. Повторим второй эксперимент, только в этот раз кубик подвесим на теплонепроводящей нити вдали от других тел в том же помещении. Каким будет теперь время остывания $\tau_1$ .

Отговори

Решение

9.4. Кубик ~~ЛФИ. (Клепиков М.С.)~~

Возможное решение

Выразим коэффициент $\alpha$ из закона

\alpha = \frac{P}{S(T - T_0)}, \qquad [\alpha] = \frac{\mathrm{Вт}}{\mathrm{м}^2 \cdot {}^{\circ}\mathrm{C}} = \frac{\mathrm{кг}}{\mathrm{с}^3 \cdot {}^{\circ}\mathrm{C}}.

В силу симметрии графиков можно утверждать, что оба раза начальная разность температур была одинаковой по модулю и температура куба асимптотически приближалась к комнатной температуре, в данном случае получается, что к среднему значению начальных температур:

T_0 = \frac{13\ {}^{\circ}\mathrm{C} + 35\ {}^{\circ}\mathrm{C}}{2} = 24\ {}^{\circ}\mathrm{C}.

Проведем касательную к графику в начальной точке:

График $T(t)$ из второго опыта (от 35 °C при $t = 0$ до 26 °C при $t = 160$ мин) с проведённой из начальной точки касательной (сплошная красная прямая, пересекающая ось времени около 40 мин) и двумя штриховыми прямыми, показывающими погрешность построения касательной; оси $T$, °C (26–36) и $t$, мин (0–160).

При таком гипотетическом остывании для любого промежутка времени можно записать:

cm\Delta T = -\alpha S(T_1 - T_0)\Delta t.

Знак минус показывает, что $\Delta T < 0$ . Заметим, что отношение $\Delta T/\Delta t$ — коэффициент наклона графика $k$ , значит

cm(T_0 - T_1) = -\alpha S(T_1 - T_0)\tau.

Разделив последние два выражения, получим

\tau = -\frac{T_1 - T_0}{k} \approx 49\ \mathrm{мин}.

Учитывая погрешность построения касательной, допустимы следующие результаты $\tau \in [43; 55]\ \mathrm{мин}$ .

Вновь запишем

cm(T_0 - T_1) = -\alpha S(T_1 - T_0)\tau,

c\rho b^3 = \alpha 5b^2\tau,

\alpha = \frac{c\rho b}{5\tau}.

Обратим внимание, что площадь поверхности $S$ кубика, которая контактировала с окружающим воздухом равна сумме площадей 5 его граней, так как он стоит на теплоизолированной поверхности.

Воспользуемся последним результатом, только учтем, что теперь кубик охлаждается через все 6 своих граней, а значит

\tau' = \frac{5}{6}\tau \approx 41\ \mathrm{мин\ или}\ \tau' \in [35; 46]\ \mathrm{мин}.

Критерии оценивания

№	Критерий	Балл
1	Получены единицы измерения в любых правильных вариантах	1,0
2	Получено значение $T_0$ , опираясь на рассуждения о симметрии либо аналитически, либо используя построение обоих графиков на одной системе координат	1,5
3	Получен коэффициент наклона или в решении используется пропорция отношений $\Delta T/\Delta t$ для видимой части графика и для полного остывания	1,0
4	Использовано выражение $Q = cm\Delta T$	0,5
5	Получено выражение для $\tau$	1,0
6	Численный ответ, попадающий в диапазон значений $[43; 55]\ \mathrm{мин}$	0,5
7	Использовано выражение $m = \rho b^3$	0,5
8	Использовано выражение $S = 5b^2$	1,0
9	Получено уравнение $\alpha = \frac{c\rho b}{5\tau}$	1,0
10	Записан численный ответ $\alpha \in [2{,}4; 3{,}1]\ \frac{\mathrm{кг}}{\mathrm{с}^3 \cdot {}^{\circ}\mathrm{C}}$	0,5
11	Аргументированно показано, что мощность теплоотдачи увеличится в 1.2 раза или время $\tau$ уменьшится в 5/6 раз.	1,0
12	Записан ответ $\tau' \in [35; 46]\ \mathrm{мин}$	0,5
	max	10,0

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи. Если комнатная температура $T_0$ определена неверно, но дальнейшие рассуждения в аналитическом виде верные, то они оцениваются в соответствии с таблицей. Численные же значения для времени $\tau$ , коэффициента $\alpha$ и времени $\tau'$ (пункты 6, 10, 12) в таком случае не могут быть оценены (даже при случайном совпадении).

Оригинал в Архива: VsOSh_2024_MUN_T.pdf