Съдържание

ВсОШ 2024, Муниципален етап, 7–11 клас, учебна 2023/24 — Задача 15. Бусы Ньютона

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2024

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО ФИЗИКЕ. МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП. 2023-2024 учебный год · 10 т.

Условие

На горизонтальный стержень надеты маленькие невесомые колечки $A$ и $B$ , которые могут без трения перемещаться по стержню. К колечкам прикреплена невесомая нить. На нить надеты две одинаковые массивные маленькие бусинки, которые могут без трения перемещаться по нити. В начальный момент бусинки удерживают так, что нить натянута, длина ее горизонтального участка $4L$ , длина каждого вертикального участка $L$ . Бусинки одновременно отпускают. Считая известным ускорение свободного падения $g$ , найдите:

Горизонтальный стержень с колечками A (слева) и B (справа). От каждого колечка вертикально вниз участок нити длины L до бусинки; бусинки соединены горизонтальным участком нити длины 4L. Справа стрелка g вниз.

a. координаты первой встречи бусинок;

b. ускорения каждой из бусинок;

c. время, через которое бусинки впервые встретятся;

d. путь, который пройдет каждая бусинка до встречи.

Отговори

Решение

10.2. Бусы Ньютона. (Вергунов А.Ю.)

Возможное решение

На каждое из колечек действуют только две вертикальные силы: сила натяжения нити $T$ и сила нормальной реакции опоры $N$ со стороны стержня. Так как колечки невесомы на них не может действовать некомпенсированная горизонтальная сила, следовательно не может появиться проекции силы натяжения нити на горизонтальную ось. Таким образом вертикальные участки нити, прикрепленные к кольцам, в любой момент времени движения будут оставаться вертикальными.

В силу симметрии участок нити, соединяющий бусинки, все время движения до встречи будет оставаться горизонтальным (бусинки одинаковые, модуль силы натяжения везде одинаковый).

Расставим силы, действующие на бусинки в произвольный момент времени, и введем декартову систему координат (ось $y$ направлена вниз, ось $x$ направлена вправо, начало координат по середине между начальными положениями бусинок).

Расстановка сил: колечки $A$ и $B$ на горизонтальном стержне, начало координат 0 посередине, ось $x$ вправо, ось $y$ вниз; на каждую бусинку действуют сила натяжения $T$ вверх (вертикальный участок), сила $T$ к центру (горизонтальный участок) и сила тяжести $mg$ вниз; справа стрелка $g$ вниз.

На систему не действуют никакие внешние горизонтальные силы, а значит, по теореме о движении центра масс, центр масс системы может перемещаться только вдоль одной вертикали. Тогда координаты первой встречи $(0;3L)$ , так как общая длина всей нити $6L$ .

Рассмотрим правую бусинку. Её координаты в произвольный момент времени $(x;y)$ , тогда половину длины нити в любой момент времени движения можно представить в виде:

3L = x + y;

y = 3L - x.

Таким образом из уравнения траектории движения правой бусинки видно, что движение будет происходить по прямой, наклоненной под углом 45° к горизонту. Аналогичными рассуждениями можем получить, что характер движения левой бусинки будет таким же.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на $Oxy$ для правой бусинки:

-ma_x = -T;

ma_y = mg - T.

Так как полное ускорение направлено под углом 45° к горизонту $a_x = a_y$ , тогда:

T = \frac{mg}{2};

a_x = \frac{g}{2};

a_0 = \frac{a_x}{\cos(45^{\circ})} = \frac{g}{\sqrt{2}}.

Найдем время, через которое произойдет встреча:

x = 2L = \frac{a_x t^2}{2};

t = \sqrt{\frac{4L}{a_x}} = \sqrt{\frac{8L}{g}}.

Путь, который пройдет бусинка:

s = \frac{2L}{\cos(45^{\circ})} = 2\sqrt{2}L.

Время движения, модуль ускорения и путь левой бусики такие же, как у правой.

Критерии оценивания

№	Критерии оценивания (10 баллов)	Баллы
1	Доказательство того, что вертикальные участки нити, всегда остаются вертикальными	1,0
2	Доказательство того, что горизонтальный участок нити, всегда остается горизонтальным	1,0
3	Доказательство того, что центр масс движется по одной вертикали (или аналогичные утверждения)	0,5
4	Найдены верные координаты встречи	1,0
5	Найдено уравнение движения для одной из бусинок (при отсутствии баллов за пункты 1 и 2 не оценивать)	1,0
6	Утверждение, что полное ускорение направлено под углом 45° к горизонту	1,0
7	Записан второй закон Ньютона (или аналогичное верное выражение)	1,0
8	Найдено полное ускорение	1,0
9	Найдено время, через которое произойдет встреча	1,0
10	Найден путь, который проходит бусинка	1,0
11	Указание на то, что для второй бусинке все ответы аналогичные	0,5

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи.

Оригинал в Архива: VsOSh_2024_MUN_T.pdf