Съдържание

ВсОШ 2024, Муниципален етап, 7–11 клас, учебна 2023/24 — Задача 16. Постучим костяшками

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2024

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО ФИЗИКЕ. МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП. 2023-2024 учебный год · 10 т.

Условие

Две одинаковые костяшки домино стоят на шероховатой поверхности – костяшка $А$ стоит вертикально, костяшка $Б$ – под углом $\alpha$ , опираясь ребром на грань костяшки $А$ . При каких углах $\alpha$ система будет находится в равновесии? Высота костяшки – $a$ , ширина – $b$ ( $b \ll a$ ), масса – $m$ , коэффициент трения между костяшками и поверхностью – $\mu$ . Коэффициент трения между костяшками пренебрежимо мал. Система находится в однородном поле сил тяготения с ускорением свободного падения $g$ .

Две костяшки домино на шероховатой поверхности: левая стоит вертикально, правая наклонена под углом α к вертикали и опирается верхним ребром на правую грань левой. Размер a показан по ширине костяшки сверху, размер b — по высоте слева.

Отговори

Решение

Постучим костяшками. (Яворский В.А.)

НА РИСУНКЕ БЫЛИ ПЕРЕПУТАНЫ a и b. ЕСЛИ РЕБЕНОК ИСПОЛЬЗОВАЛ В РЕШЕНИИ ОБОЗНАЧЕНИЯ С РИСУНКА, ОЦЕНИВАЕМ В ПОЛНОЙ МЕРЕ.

Возможное решение.

Пусть $mg$ – сила тяжести, $N_1$ – сила нормальной реакции опоры со стороны поверхности на фишку А, $N_2$ – сила нормальной реакции опоры со стороны поверхности на фишку Б, $N_3$ – сила реакции опоры между фишками, $F_{\mathrm{тр}1}$ – сила трения покоя для фишки А, $F_{\mathrm{тр}2}$ – сила трения покоя для фишки Б.

Два рисунка с расстановкой сил. Слева — костяшка А (вертикальная): сила $N_3$ влево в точке касания сверху, $mg$ вниз, $N_1$ вверх, сила трения $F_{\mathrm{тр}1}$ вправо у основания, точка $O_1$ у нижнего угла; костяшка Б показана серым под углом $\alpha$. Справа — костяшка Б под углом $\alpha$ к вертикали: сила $N_3$ вправо в верхней точке, $mg$ вниз, $N_2$ вверх, сила трения $F_{\mathrm{тр}2}$ влево, точка $O_2$ у нижнего угла; костяшка А показана серым.

Условие равновесия для фишки А:

По вертикали: $N_1 = mg$ (1)

По горизонтали: $N_3 = F_{\mathrm{тр}1} = \mu N_1 \le \mu mg$ (2)

Уравнение равенства моментов сил относительно точки $O_1$ , с учётом того, что при перевороте точка приложения силы $N_1$ сместится к $O_1$ :

N_3 \cdot a\cos\alpha = mg\frac{b}{2} \qquad (3)

Подставляя (2) в (3), получаем:

mg\frac{b}{2} \le \mu mg \cdot a\cos\alpha;

\cos\alpha \ge \frac{b}{2\mu a};

0 < \alpha \le \arccos\left(\frac{b}{2\mu a}\right). \qquad (4)

Решение существует при $\frac{b}{a} < 2\mu$ .

Условие равновесия для фишки Б:

По вертикали: $N_2 = mg$ (5)

По горизонтали: $N_3 = F_{\mathrm{тр}2} = \mu N_2 \le \mu mg$ (6)

Уравнение равенства моментов сил относительно точки $O_2$ :

N_3\cos\alpha \cdot a + mg\cos\alpha \cdot \frac{b}{2} = mg\sin\alpha \cdot \frac{a}{2} \qquad (7)

Подставляя (6) в (7), получаем:

mg\sin\alpha \cdot \frac{a}{2} \le \mu mg\cos\alpha \cdot a + mg\cos\alpha \cdot \frac{b}{2};

a\sin\alpha \le (2\mu a + b)\cos\alpha;

\mathrm{tg}\,\alpha \le 2\mu + \frac{b}{a};

0 < \alpha \le \mathrm{arctg}\left(2\mu + \frac{b}{a}\right). \qquad (8)

Конечное решение является пересечением интервалов (4) и (8).

№	Критерий	Балл
1	Сделан рисунок с расстановкой сил, или иначе описаны все силы с точками приложения	1
2	Два условия равновесия на силы для костяшки А	1
3	Правило моментов для костяшки А	1
4	Получено первое неравенство на угол α или его тригонометрическую функцию	2
5	Два условия равновесия на силы для костяшки Б	1
6	Правило моментов для костяшки Б	1
7	Получено второе неравенство на угол α или его тригонометрическую функцию	2
8	Указано, что ответ должен удовлетворять одновременно двум неравенствам	1
	max	10,0

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи.

Оригинал в Архива: VsOSh_2024_MUN_T.pdf