ВсОШ 2024, Муниципален етап, 7–11 клас, учебна 2023/24 — Задача 18. Тень на плетень

• $d = T\frac{V_1V_2^2}{2\pi(V_1^2 + V_2^2)}$

  В решении скорости обозначены $V_1$, $V_2$ (в условии — $\upsilon_1$, $\upsilon_2$).

10.5.Тень на плетень. (Кармазин С.В.)

Возможное решение

Пусть между углами домов расстояние $R$, а угол между западной стеной дома №2 и направлением кратчайшего расстояния между углами домов равен φ (рис.2)

Пусть за время $\Delta t$ солнечный луч поворачивается на угол $\Delta\varphi$. Тогда по восточной стене дома №1 он пройдет расстояние

где $\omega$ – угловая скорость поворота солнечного луча, т.е. угловая скорость вращения Земли.

Аналогично для северной стороны

Таким образом tg φ = $V_2/V_1$

Из (1) выразим $R = \frac{V_1\sin\varphi}{\omega}$

Ширина улицы $d = R\sin\varphi = \frac{V_1\sin^2\varphi}{\omega}$

Так как $\sin^2\varphi = \frac{\tan^2\varphi}{1 + \tan^2\varphi}, \omega = \frac{2\pi}{T}$

Окончательный ответ $d = T\frac{V_1V_2^2}{2\pi(V_1^2 + V_2^2)}$

Критерии оценивания

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи.