Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2024, Муниципален етап, 7–11 клас, учебна 2023/24 — Задача 21. Дизель

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2024

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО ФИЗИКЕ. МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП. 2023-2024 учебный год

Условие

Идеальный цикл, который предложил ~~Вин~~ Рудольф Дизель, состоит из четырёх процессов:

1-2 адиабатное сжатие рабочего тела;
2-3 изобарный подвод теплоты к рабочему телу;
3-4 адиабатное расширение рабочего тела;
4-1 изохорное охлаждение рабочего тела.

Цикл Дизеля в координатах p/p₀ (0–16) — V/V₀ (0–8) на сетке: точка 2 (1; 16), точка 3 (2; 16) — изобара 2–3; адиабата 3–4 спадает до точки 4 (8; 2,5); изохора 4–1 вниз до точки 1 (8; 1); адиабата 1–2 поднимается от 1 к 2.

Под «рабочим телом» для упрощения будем понимать идеальный газ. Используя относительные величины давления и объёма ( $p_0$ и $V_0$ считать известными) на графике и, приняв количество вещества рабочего тела за $\nu$ , ответьте на следующие вопросы:

a. Какова минимальная температура $T_{min}$ газа за весь цикл?

b. Чему равна работа газа $A$ за цикл? Давление в точке 4 считайте известным и равным $p_4 = 2{,}5p_0$ . Здесь и в следующем пункте считайте число $i$ степеней свободы газа известным.

c. Найдите КПД $\eta$ такого цикла.

Для описания зависимости давления газа от его объёма на адиабатных участках графика можно использовать уравнение Пуассона:

pV^{\gamma} = \mathrm{const},

где $\gamma = \frac{c_p}{c_V}$ — показатель адиабаты ( $c_p, c_V$ — молярные теплоёмкости газа при постоянном давлении и при постоянном объёме соответственно).

d. Теперь, считая $i$ неизвестным, найдите численное значение $\gamma$ .

e. Чему равно $i$ ?

Отговори

Решение

11.3. Дизель. (Клепиков М.С.)

Возможное решение

Поскольку в процессе сжатия 1-2 температура газа растет, значит начальная точка 1 как раз соответствует минимальной температуре, значит из уравнения состояния идеального газа получим

T_{min} = \frac{8p_0V_0}{\nu R}.

Остальные участки графика соответствуют более высоким значениям произведений координат, что пропорционально температуре газа.

Исходя из первого начала термодинамики, работа газа за цикл

A = A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41} = -\Delta U_{12} + p_3(V_3 - V_2) - \Delta U_{34} + 0.

Изменения внутренней энергии на других участках:

\Delta U_{12} = -\frac{i}{2}\nu R(T_2 - T_1) = -\frac{i}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) = -4ip_0V_0.

\Delta U_{34} = -\frac{i}{2}\nu R(T_4 - T_3) = -\frac{i}{2}(p_4V_4 - p_3V_3) = 6ip_0V_0.

В итоге

A = (16 + 2i)p_0V_0.

Для КПД цикла осталось найти подведенное за цикл количество теплоты от нагревателя. Поскольку на адиабатных участках, по определению, теплообмен отсутствует, значит газ получал тепло только в изобарном процессе 2-3, значит

Q = Q_{23} = c_p\nu(T_3 - T_2) = \left(\frac{i}{2} + 1\right)R\nu(T_3 - T_2) = \left(\frac{i}{2} + 1\right)16p_0V_0.

\eta = \frac{A}{Q} = \frac{(16 + 2i)p_0V_0}{\left(\frac{i}{2} + 1\right)16p_0V_0} = \frac{8 + i}{8 + 4i}.

Применим уравнение Пуассона для процесса 1-2:

p_1V_1^{\gamma} = p_2V_2^{\gamma},

\frac{p_1}{p_2} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma}, \text{откуда } \gamma = \log_{\frac{V_2}{V_1}}\frac{p_1}{p_2} = \log_{\frac{1}{8}}\frac{1}{16} = \frac{4}{3}.

Воспользуемся известными значениями $c_p = c_V + R$ , где $c_V = \frac{i}{2}R$ и получим

\gamma = \frac{i + 2}{i}, \text{откуда } i = \frac{2}{\gamma - 1} = 6.

Критерии оценивания

№	Критерий	Балл
1	Аргументированное нахождение $T_{min}$	1
2	Использовано первое начало термодинамики для 4 процессов (возможно без доказательства сразу написаны работы газа на участках) по 0,5 балла за каждое правильное значение работы	2
3	Найдена работа газа за цикл	0,5
4	Формула для КПД	1
5	Найдено количество теплоты, подведенное от нагревателя	1
6	Найдено КПД	0,5
7	Применение уравнения Пуассона для любого из адиабатных процессов	1
8	Получено значение показателя адиабаты	1
9	Выведено или использовано готовое выражение для показателя адиабаты через число степеней свободы	1
10	Получен ответ для $i$ . Если для расчетов был использован процесс 3-4, то ответ может незначительно отличаться	1

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи. Численный ответ без единиц измерения не оценивается.

Оригинал в Архива: VsOSh_2024_MUN_T.pdf