ВсОШ 2024, Road to IPhO — Задача 1. Часть А. Уравнение Шиманского

Road to IPhO. Переход жидкость–пар · 5,5 т.

Бележка

Метод простой итерации (МПИ) — один из простейших методов численного решения уравнений. Чтобы решить уравнение с помощью МПИ, его представляют в виде $x = f(x)$. Подставляя в качестве аргумента функции начальное приближение $x_0$, мы получим первое приближение $x_1$. Далее, подставляя $x_1$ в качестве аргумента функции, мы получим уже второе приближение $x_2$, и т.д. Функцию $f(x)$ всегда можно выбрать так, чтобы разница между последовательными приближениями уменьшалась, а результат вычислений становился всё ближе к правильному ответу. Метод простой итерации удобно использовать для численного нахождения величин, заданных неявно как решение некоторого уравнения. Примечание: в задаче используется функция $\operatorname{th} x$ — гиперболический тангенс. Она определяется как

$$\operatorname{th} x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}.$$

Несложно видеть, что $|\operatorname{th} x| < 1$. Функция, обратная к гиперболическому тангенсу, обозначается $\operatorname{arth} x$. Примечание: во всей задаче буквой $t$ обозначается температура в $^{\circ}\mathrm{C}$, а буквой $T$ — температура в K.

Условие

В этой задаче будем рассматривать фазовый переход жидкость–пар. Этот переход характеризуется удельной теплотой испарения жидкости $L$. В реальности удельная теплота испарения зависит от температуры. Эта зависимость может быть с хорошей точностью описана уравнением Шиманского

Характерный вид зависимости $L(T)$ показан на рис. 1. Здесь $L_0$ и $T_{\mathrm{c}}$ – некоторые величины, определяемые природой жидкости. $L_0$ имеет размерность удельной теплоты испарения, а $T_{\mathrm{c}}$ называется критической температурой жидкости. Физический смысл критической температуры мы выясним в следующей части задачи, а пока определим $L_0$ и $T_{\mathrm{c}}$ для воды по известным значениям $L(t)$.

Пусть нам известны значения удельной теплоты испарения жидкости $L_1$ и $L_2$ при температурах $T_1$ и $T_2$ соответственно (для определённости $T_2 > T_1$).

В листах ответов вам дана таблица пар точек $(t_1, L_1)$ и $(t_2, L_2)$ (по одной паре на строку).

A1 Запишите уравнение, которое позволит с помощью метода простой итерации найти величину $\dfrac{T_{\mathrm{c}}}{L_0}$, и уравнения, с помощью которых отсюда можно будет найти сами величины $T_{\mathrm{c}}$ и $L_0$. [1 т.]

A2 Для каждой пары точек найдите величины $T_{\mathrm{c}}$ и $L_0$. [4 т.]

A3 Найдите средние арифметические полученных вами значений, $\overline{T}_{\mathrm{c}}$ и $\overline{L}_0$. [0,5 т.]

Решение

---

Оригинал в Архива: PE-prob.pdf