ВсОШ 2024, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9.1. Ускоряющее зеркало

• 1.76 м/с²

  Ускорение зеркала направлено вниз. Первый способ официального решения даёт $a = (1{,}76 \pm 0{,}10)$ м/с$^2$; второй способ — 1,64 м/с$^2$, третий — 1,75 м/с$^2$, четвёртый — $(1{,}80 \pm 0{,}02)$ м/с$^2$.

Плоскость зеркала горизонтальна, поэтому источник света $S$ и его изображение $S^*$ всегда расположены на одной вертикальной прямой. Тогда, поскольку проекция скорости $v_x$ источника на горизонтальную ось $x$ остаётся постоянной, проекция скорости изображения на соответствующую ось $v_x^* = v_x$.

В связанной с зеркалом системе отсчёта ускорение источника равняется:

В системе отсчёта зеркала траектории источника $S$ и его изображения $S^*$ симметричны относительно зеркала, значит для ускорения изображения источника относительно зеркала выполняется:

Для ускорения изображения источника в лабораторной системе отсчёта находим:

Далее будем считать, что ускорение зеркала направлено вертикально вверх. Рассмотрим различные варианты определения ускорения.

Первый способ:

Рассмотрим траекторию источника между точками, расположенными на одной горизонтали. Между ними он движется в течение времени $t$, равного:

где $v_{\text{в}}$ – вертикальная компонента скорости источника в указанных положениях. Тогда его горизонтальное перемещение за данное время равняется:

Аналогично рассматривая траекторию изображения источника между точками, расположенными на одной горизонтали, получим:

где $v^*_{\text{в}}$ – вертикальная компонента скорости изображения источника в указанных положениях. Здесь мы учли равенство $v_x^* = v_x$. Разделив уравнения друг на друга, получим:

Для улучшения точности рассмотрим максимально возможные значения $\Delta x$ и $\Delta x^*$, которым соответствуют точки, расположенные на левом крае рисунка. Соответствующее отношение вертикальных компонент скоростей измерим как отношение угловых коэффициентов касательных. Получим:

Таким образом:

$a = (1{,}76 \pm 0{,}10)\ \text{м/с}^2$, ускорение направлено вниз.

Второй способ:

Введём прямоугольную систему координат $Oxy$. Определим координаты вершин обеих траекторий, для этого проведём горизонтальные прямые и построим к ним серединные перпендикуляры. Координаты вершины для траектории источника (на рисунке обозначено точкой 1) определяются однозначно $x_{\text{в}} = 36$ ус.единиц, $y_{\text{в}} = 18$ ус.единиц. Координаты вершины траектории изображения (точка 3) по оси ординаты определяются хуже, поэтому возьмём приближенное значение, таким образом $x^*_{\text{в}} = 45$ ус.единиц, $y^*_{\text{в}} \approx 21$ ус.единиц.

Рассмотрим движение источника света между точками 1 и 2. Между этими двумя точками источник двигался в течение времени $t_1$, тогда его горизонтальное и вертикальное перемещения:

Время движения из формулы для горизонтального перемещения: $t_1 = \Delta x/v_x$. Тогда:

Аналогично рассматривая траекторию изображения источника между точками 3 и 4, с учетом равенства горизонтальных проекций скоростей $v_x = v_x^*$, получим:

Разделим получившиеся выражения для ускорений друг на друга:

Необходимые значения в условных единицах: $\Delta y^* = 39$, $\Delta x^* = 65$, $\Delta x = 74$ и $\Delta y = 76$ найдены с помощью масштабно-координатной сетки.

Отличие от значения, полученного первым способом, обуславливается погрешностью определения координаты вершины траектории изображения источника.

$a = 1{,}64\ \text{м/с}^2$, ускорение направлено вниз.

Третий способ:

Предположим, что ускорение зеркала направлено вниз. Проведём касательные к обеим траекториям в начальный момент времени и построим векторные треугольники перемещений для источника и его изображения. Для улучшения точности рассмотрим максимально возможные значения $\vec{v}_0 t$ и $\vec{u}_0 t$, где $\vec{v}_0$ и $\vec{u}_0$ скорости источника и его изображения. Векторные треугольники будем строить таким образом, чтобы горизонтальные перемещения источника и изображения были равны. Таким образом время $t$ будет одинаковым для обоих случаев.

Тогда отношение полных ускорений будет равно отношению длин соответствующих сторон двух векторных треугольников перемещений:

где $l_1$ это длина в условных единицах вертикальной стороны треугольника перемещений источника, а $l_2$ — вертикальной стороны треугольника перемещений изображения источника. Тогда:

$a = 1{,}75\ \text{м/с}^2$, ускорение направлено вниз.

Четвёртый способ:

В любой момент времени точка, принадлежащая плоскости зеркала, находится на середине вертикального отрезка, соединяющего точки, принадлежащие траекториям источника и изображения. Воспользовавшись этим, мы можем восстановить траекторию точки зеркала

Ускорение зеркала относительно земли равно $\vec{a}$. Из рисунка видно, что оно направлено вертикально вниз. Зная, что ускорение источника равно $\vec{g}$, и определив координаты вершин парабол, либо характерные расстояния по вертикали и горизонтали, мы можем найти величину ускорения, воспользовавшись любым из вышеописанных способов решения.

$a = (1{,}80 \pm 0{,}02)\ \text{м/с}^2$, ускорение направлено вниз.