ВсОШ 2024, Регионален етап, 9. клас — Задача 4. Запутанная схема

• 1. Приборы 1, 2 и 4 – вольтметры, 3 и 5 – амперметры.
• 2. $R_{\text{А}} = 10$ кОм, $R_V = 50$ кОм

Перерисуем электрическую схему. Приборы 3 и 4 соединены параллельно, а по условию нет двух вольтметров или амперметров с одинаковыми показаниями. Поэтому один из приборов 3 и 4 должен быть вольтметром, а второй – амперметром. Давайте, для определенности, будем считать 3 амперметром, а 4 – вольтметром.

Предположим, что прибор номер 1 – амперметр. Через прибор 1 протекает ток, равный сумме токов через приборы 3 и 4. Тогда из двух амперметров 1 и 3 больший ток протекает через амперметр 1. Значит через амперметр 1 протекает ток $I_1 = 520$ мкА, а через амперметр 3 протекает ток $I_3 = 200$ мкА. Соответственно через вольтметр 4 протекает ток $I_1 – I_3 = 320$ мкА. Найдём внутреннее сопротивление амперметра. Амперметр 3 включен в схему параллельно вольтметру 4, значит напряжение на амперметре 3 равно напряжению на вольтметре 4. Тогда внутреннее сопротивление амперметров $R_A = \frac{U_4}{I_3}$. Напряжение на амперметре 1 равно $U_1 = I_1 R_A = \frac{U_4 I_1}{I_3}$. Известно, что в схеме всего 2 амперметра. Если приборы 1 и 3 – амперметры, тогда прибор 2 должен быть вольтметром. Он показывает сумму напряжений на амперметрах 1 и 3, равную $U_1 + U_4 = \frac{U_4(I_1 + I_3)}{I_3} = 3{,}6U_4$. Но, по условию задачи, в схеме нет двух вольтметров, показания которых различаются в 3,6 раза. Тогда мы приходим к противоречию с предположением, что прибор 1 – амперметр. Следовательно, прибор 1 – вольтметр. Через вольтметр 1 течет ток, равный сумме токов через амперметр 3 и вольтметр 4. Поэтому напряжение на вольтметре 1 больше, чем на вольтметре 4. Если 2 – вольтметр, то напряжение на нем равно сумме напряжений на 1 и 4. Если 5 – вольтметр, то ток через него равен сумме токов через 1 и 2, значит напряжение на 5 больше, чем напряжение на 1 и 4. В любом случае получаем, что самое маленькое напряжение из всех вольтметров (равное 2 В) показывает вольтметр 4, а вольтметр 1 показывает среднее значение $U_1 = 12$ В. Напряжение на приборе 2 равно сумме напряжений на вольтметрах 1 и 4. Тогда $U_2 = U_1 + U_4 = 14$ В. Если предположить, что прибор 2 – амперметр, то сила тока через него должна быть равна $\frac{U_2}{R_A} = \frac{U_2 I_3}{U_4} = 7I_3$. Но это не соответствует условиям задачи, по условию показания двух амперметров отличаются в $\frac{520}{200} = 2{,}6$ раза. Следовательно прибор 2 – вольтметр и его показания $U_2 = 14$ В, а прибор 5 – амперметр. Мы узнали на каких местах в схеме стоят амперметры и вольтметры.

Приборы 1, 2 и 4 – вольтметры, 3 и 5 – амперметры.

Теперь найдем внутренние сопротивления приборов. Сила тока через амперметр 5 равна сумме токов через амперметр 3, вольтметр 4 и вольтметр 2. Следовательно, сила тока в амперметре 3 меньше, чем в амперметре 5, $I_3 = 200$ мкА, $I_5 = 520$ мкА. Тогда сопротивление амперметров $R_{\text{А}} = \frac{U_4}{I_3} = 10$ кОм. Сила тока через вольтметр 1 равна сумме токов через амперметр 3 и вольтметр 4. $I_1 = \frac{U_1}{R_V} = I_3 + \frac{U_4}{R_V}$. Преобразуем это выражение $\frac{U_1 – U_4}{R_V} = I_3$ и выразим из него сопротивление вольтметров $R_V = \frac{U_1 – U_4}{I_3} = 50$ кОм.