Съдържание

ВсОШ 2024, Муниципален етап, 7–11 клас, учебна 2024/25 — Задача 4. 7 класс. 4. Утрамбовали (Рубцов Д.)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ, папка 2025

Всероссийская олимпиада школьников по физике. Муниципальный этап. 29.11.2024 г. · 29 ноември 2024 г. · 10 т.

Условие

В пустой стакан объемом $V_0 = 200\ \text{см}^3$ и массой $m_1 = 20$ г насыпали доверху песок и поставили на весы (см. рисунок). Масса стакана с песком составила $m_2 = 336$ г. Затем песок хорошо утрамбовали и залили водой плотностью $\rho_0 = 1{,}0\,\frac{\text{г}}{\text{см}^3}$ так, что все полости между песчинками заполнились жидкостью. При этом высота утрамбованного песка осталась прежней, и верхние границы воды и песка совпали. Сами песчинки воду не впитывали. Новые показания весов выросли до $m_3 = 412$ г. После этого в стакан долили доверху воду и снова измерили массу. Весы показали $m_4 = 425$ г.

По известным данным определите:

Пять одинаковых стаканов в форме усечённого конуса (сечение — трапеция, расширяющаяся кверху): пустой стакан (m₁); стакан, доверху заполненный песком (m₂); стакан с утрамбованным песком, занимающим нижнюю часть (m₂); тот же утрамбованный песок, залитый водой до его верхней границы (m₃); стакан, долитый водой доверху над утрамбованным песком (m₄).

1. насыпную плотность $\rho_1$ неутрамбованного песка;

2. насыпную плотность $\rho_2$ утрамбованного песка;

3. отношение $\beta$ объема пустот к полному объему утрамбованного песка;

4. плотность $\rho$ песчинок.

Отговори

Решение

Возможное решение

Масса песка (утрамбованного, неутрамбованного или просто песчинок) равна $m = m_2 - m_1 = 316$ г.

Насыпная плотность неутрамбованного песка – это отношение его массы к объему (включая объем пустот между песчинками) $\rho_1 = \frac{m_2 - m_1}{V_0.} = 1{,}58\,\frac{\text{г}}{\text{см}^3}$ .

Объем, на который уменьшился песок, равен объему последней порции долитой воды $\frac{m_4 - m_3}{\rho_0}$ .

Следовательно объем, занимаемый утрамбованным песком, $V_1 = V_0 - \frac{m_4 - m_3}{\rho_0}$ .

Итак, $\rho_2 = \frac{m_2 - m_1}{V_0 - \frac{m_4 - m_3}{\rho_0}} = 1{,}69\ \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$ .

Объем пустот в утрамбованном песке равен объему воды, которую изначально залили в утрамбованный песок: $V_2 = \frac{m_3 - m_2}{\rho_0}$ .

Искомое отношение $\beta = \frac{V_2}{V_1} = \frac{m_3 - m_2}{\left(V_0 - \frac{m_4 - m_3}{\rho_0}\right)\rho_0} = 0{,}41$ .

Объем самих песчинок можно найти как разность объема стакана и суммарного объема налитой воды $V_{\text{песчинок}} = V_0 - \frac{m_4 - m_2}{\rho_0}$ .

Плотность песчинок $\rho = \frac{m_2 - m_1}{V_0 - \frac{m_4 - m_2}{\rho_0}} = 2{,}85\ \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$ .

Критерии оценивания

№	критерий	баллы
1	Найдена масса песка (есть формула $m_2$ - $m_1$ или число 316 г)	1,0
2	Выражение для плотности неутрамбованного песка $\rho_1 = \frac{m_2 - m_1}{V_0.}$	1,0
3	Численное значение для плотности неутрамбованного песка $\rho_1 = 1{,}58\,\frac{\text{г}}{\text{см}^3}$	0,5
4	Найден (возможно, в неявном виде) объем, на который уменьшился объем песка, или объем утрамбованного песка (формула или число)	1,0
5	Выражение для плотности утрамбованного песка $\rho_2 = \frac{m_2 - m_1}{V_0 - \frac{m_4 - m_3}{\rho_0}}$	1,0
6	Численное значение для плотности утрамбованного песка $\rho_2 = 1{,}69\,\frac{\text{г}}{\text{см}^3}$	0,5
7	Найден объем пустот (возможно, в неявном виде; формула или число)	1,0
8	Выражение для «коэффициента «пустотности» $\beta = \frac{m_3 - m_2}{\left(V_0 - \frac{m_4 - m_3}{\rho_0}\right)\rho_0}$	1,0
9	Численное значение для «коэффициента «пустотности» $\beta = 0{,}41$	0,5
10	Найден объем песчинок (возможно, в неявном виде; формула или число)	1,0
11	Выражение для плотности песчинок $\rho = \frac{m_2 - m_1}{V_0 - \frac{m_4 - m_2}{\rho_0}}$	1,0
12	Численное значение для плотности песчинок $\rho = 2{,}85\ \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$	0,5
итого:		10

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи.

Оригинал в Архива: VsOSh_2025_MUN_T.pdf